人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形15.3.1 等腰三角形优质课ppt课件

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如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
知识点 等腰三角形的判定
∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC.
证明：如图，过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在△ABD与△ACD中，
已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
符号语言：如图，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知： 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.求证：AB=AC．
分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系.
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C．又AD平分∠CAE∴∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
跟踪训练 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.
证明：在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC，∴AE=DE(等角对等边）.∴ △AED是等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：如图 .(1)作线段 AB=a；(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；(3)在MN 上取一点C，使 DC=h；(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
例3 如图，在△ABC中，∠BAD=∠C，BE平分∠ABC.求证：△AEF是等腰三角形
证明：∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠C ，∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠C.∵∠AFE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠CBE+∠C,∴∠AFE=∠AEB ，∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形.
知识点1 等腰三角形的判定1. 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40 n mile的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为(　　)A.40 n mile　　B.60 n mileC.70 n mile　　D.80 n mile
3.小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是(　　)A.3 cmB.2 cmC.2.5 cmD.3.5 cm
4. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，AD交EC′于点G，若折叠后∠AGC′＝48°.(1)求∠CEF的度数；
【证明】∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF.∵∠CEF＝∠C′EF.∴∠GFE＝∠C′EF.∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形.
(2)求证：△EFG是等腰三角形.
知识点2 尺规作等腰三角形5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形.下列作法正确的有　　　　(填序号).
6.尺规作图：已知线段a(如图)，画一个底边长为a，底边上的高也为a的等腰三角形.
【解】(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，与BC相交于点D；(3)在MN上取一点A，使DA＝a；(4)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.如图所示.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是(　　)A.5　　B.10　　C.15　　D.20
8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，3)，B(3，0)，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(　　)A.3　　B.4　　C.7　　D.8
【点拨】∵A(0，3)，B(3，0)，∴OA＝OB＝3.如图，以点A为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点C3，得到以A为顶点的等腰三角形ABC3；以点B为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点C1，C2，得到以B为顶点的等腰三角形ABC1、等腰三角形ABC2；作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C4为顶点的等腰三角形ABC4.综上所述，符合条件的点C一共有4个.
9. ［2026西安未央区期末］如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为AC的中点，连接BE交AD于点O，则图中两个阴影三角形(△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为　　　　.
【点拨】如图，延长BD，AC交于点H.∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH ＝90°.∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD.∴∠ABD＝∠H.∴AB＝AH.又∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD.又∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CD，以CD为边作等腰三角形CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB与DE交于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，证明△DCF是等腰三角形.
∴∠DFC＝∠BFE＝70°.∵在△DCF中，∠CDE＝40°，∠DFC＝70°，∴∠DCF＝70°＝∠DFC.∴DC＝DF.∴△DCF是等腰三角形.