人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形精品达标测试

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知识点01 等边三角形的概念与性质
等边三角形的概念：
三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。也叫正三角形。
等边三角形的性质：如图
①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。
②等边三角形三条边都存在 三线合一 。
③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。
【即学即练1】
1．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，若BD＝2，则AC＝（ ）
A．2B．3C．23D．4
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2，
∴AC＝2BD＝4，
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，等边三角形纸片ABC的边长为7，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．3B．163C．7D．8
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为7，
∴BC＝7，∠B＝∠C＝60°，
∵E，F是BC的三等分点，
∴EF=13BC=73，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF=73，
∴△DEF的周长是：3×EF=3×73=7．
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∠AEF＝90°，
∴∠CAD=12∠BAC=12×60°＝30°，
∴∠AFE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
故选：A．
【即学即练4】
4．已知直线AB∥CD，等边△EFG的顶点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H．已知∠1＝140°，则∠2＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△EFG是等边三角形，
∴∠G＝60°，
∴∠GMH＝∠1﹣∠G＝140°﹣60°＝80°，
∴∠DME＝∠GMH＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠DME＝180°，
∴∠2＝100°．
故选：D．
知识点02 等边三角形的判定
等边三角形的判定：
①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。
②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。
③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
【即学即练1】
5．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵HB＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【即学即练2】
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AD//BC，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠EAD，
∴BE//CD，
∵∠E＝60°，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠EBC＝60°，
∴∠E＝∠B＝∠BCE，
∴△BCE为等边三角形．
知识点03 含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质：
30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。
证明如下：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30°
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB。
【即学即练1】
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝75°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC＝60°，AC＝8，则BD的长为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DAC＝60°，∠BAC＝75°，
∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
∴∠BAD＝30°﹣15°＝15°＝∠B，
∴AD＝BD，
在Rt△ADC中，AC＝8，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝16，
∴BD＝AD＝16，
故选：D．
题型01 利用等边三角形的性质求线段
【典例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．24
【答案】B
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AD＝6，
∴△ADE的周长为6×3＝18，
故选：B．
【变式1】如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（ ）
A．28cmB．25cmC．23cmD．21cm
【答案】C
【解答】解：∵平移距离是4个单位，
∴AA′＝BB′＝4，
∵等边△ABC的边长为5，
∴B′C′＝BC＝5，
∴BC′＝BB′+B′C′＝4+5＝9，
∵四边形ABC′A′的周长＝4+5+9+5＝23（cm）．
故选：C．
【变式2】如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CD=12AC，∠DBC=12∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CE=12AC＝3
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故选：C．
【变式3】如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（ ）
A．1.6B．1.5C．1.8D．2
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为3，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴在Rt△OBE中，∠BOE＝90°﹣∠B＝30°，
∴OB＝2BE，
在Rt△OCF中，∠COF＝90°﹣∠C＝30°，
∴OC＝2CF，
∵OB+OC＝BC＝3，
∴2BE+2CF＝3，
∴BE+CF＝1.5．
故选：B．
题型02 利用等边三角形的性质求角
【典例1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B
【解答】解：由条件可知∠CBD=12∠ABC=30°，∠BDC=90°，
∴∠BDF=∠BFD=180°−∠DBF2=75°，
∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°，
故选：B．
【变式1】如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
【答案】A
【解答】解：∵△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝AQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，
∵PB＝QC＝PQ，
∴BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∵∠B+∠BAP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠QAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．
故选：A．
【变式2】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝（ ）
A．80°B．95°C．100°D．120°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CBD=12∠ABC=12×60°＝30°，∠BCE=12∠ACB=12×60°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故选：D．
【变式3】如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【答案】D
【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠BAD＝∠ADB＝60°，
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°，
∵AC＝AD，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD=12×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°．
故选：D．
题型03 等边三角形与平行线
【典例1】如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为∠1＝29°，则∠2的度数为（ ）
A．29°B．41°C．31°D．30°
【答案】C
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵直线l∥m∥n，∠1＝29°，
∴∠DCB＝∠1＝29°，∠2＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝60°﹣29°＝31°，
∴∠2＝∠ACD＝31°．
故选：C．
【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（ ）
A．142°B．128°C．98°D．92°
【答案】C
【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：

∵∠1＝38°，
∴∠ADE＝∠1＝38°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF为△ADE的一个外角，
∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠AEF＝98°．
故选：C．
【变式2】如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为（ ）
A．82°B．72°C．78°D．86°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵m∥n，
∴∠β＝∠ABC+∠α＝60°+22°＝82°，
故选：A．
【变式3】如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B，C分别在l，m上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．40°C．30°D．20°
【答案】B
【解答】解：过A作AM∥∥l，
∵l∥m，
∴AM∥m，
∴∠BAM＝∠1＝20°，∠2＝∠CAM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝40°，
∴∠2＝40°．
故选：B．
题型04 等边三角形的判定
【典例1】下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解答】解：∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，
又∵|a﹣b|≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：A．
【变式2】如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形．
【答案】证明见解答过程．
【解答】解：∵∠ACB＝33°，∠CAE＝27°，∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝60°，
在△ABE中，∠ABC＝87°，
∴∠BAE＝180°﹣（∠ABC+∠AEB）＝180°﹣（87°+60°）＝33°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝33°+27°＝60°，
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等边三角形．
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE．
（1）若BE＝6，求AB的长；
（2）求证：△CDE是等边三角形．
【答案】（1）12；（2）证明见解答．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AE⊥BC，
∴BE=12BC=12AB，
∵BE＝6，
∴AB＝2BE＝2×6＝12；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠C＝60°，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴CE=12BC，CD=12AC，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE=12（180°﹣60°）＝60°，
即∠CED＝∠CDE＝∠C，
∴△CDE是等边三角形．
【变式4】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（ ）
A．53B．43C．5D．4
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EF＝1，
∴∠CAD＝∠CBE＝30°，
∴AF＝2EF，BF＝2DF，
∵AF＝DF，
∴AF＝2EF＝2×1＝2＝DF，
∴BF＝2DF＝2×2＝4，
∴BE＝BF+EF＝4+1＝5，
故选：C．
【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1B．32C．54D．43
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF=12AD，CE=12CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
∴AF=12，CF=32，CE=34，
∴BE＝BC﹣CE＝2−34=54，
故选：C．
【变式2】如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（ ）
A．13B．23C．1D．43
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC中，AB＝4，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝4，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=2，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∵CD⊥EF，
∴∠CDF＝90°，∠DCF＝30°，
∴DF=12CF，
设FH＝x，则CF＝2+x，
∴DF=12CF=1+12x，
∵∠EFC＝60°，∠AHB＝90°，
∴∠FDH＝90°﹣∠EFC＝30°，
∴FH=12DF，
∴x=12(1+12x)，
∴x=23，即FH=23．
故选：B．
【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，线段BF长的最大值是（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】C
【解答】解：连接DF，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∴∠FHB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AC＝6，
∴AB＝2AC＝12；
设AF＝x，则BF＝AB﹣AF＝12﹣x，
∴FH=12BF=6−12x，
∵EF垂直平分线段AD，
∴AF＝DF＝x，
∴DF≥FH，
∴x≥6−12x，
解得：x≥4，
∴AF最小值为4，BF的最大值为12﹣4＝8．
故选：C．
1．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（ ）
A．三个角都相等的三角形
B．有两个角等于60°的三角形
C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形
D．有一个外角等于120°的等腰三角形
【答案】C
【解答】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意；
B、由三角形内角和定理得到三角形的三个角都相等，判定三角形是等边三角形，故B不符合题意；
C、由线段垂直平分线的性质推出三角形的两边相等，不能判定三角形是等边三角形，故C符合题意；
D、由邻补角的性质得到等腰三角形的一个内角是60°，判定三角形是等边三角形，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（ ）
A．AB＝AC，∠B＝60°B．AB＝AC，∠A＝∠B
C．∠A＝∠B＝60°D．∠A+∠B＝2∠C
【答案】D
【解答】解：对于选项A，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意；
对于选项B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形，
故选项B能判定△ABC是等边三角形，不合题意；
对于选项C，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故选项C能判定△ABC是等边三角形，不合题意；
对于选项D，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，
∴2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形，
故选项D符合题意．
故选D．
3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上，若∠1＝24°，则∠2的度数为（ ）
A．24°B．36°C．48°D．56°
【答案】B
【解答】解：字母如图所示，
∵△ABC是等边△ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠1＝∠BGD＝24°，
∴∠BDG＝180°﹣120°﹣24°＝36°，
∵太阳光线平行，即有：DG∥EF，
∴∠2＝∠BDG＝36°，
故选：B．
4．如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若三角尺的直角边与纸带的边沿所成的夹角为30°，则三角尺的直角边的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．8cmD．9cm
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AC⊥纸带的另一边于C，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3cm，
则AB＝2AC＝2×3＝6（cm），
故选：B．
5．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BC＝8，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝8，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝AD，CE＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝4，
∴AF＝2，
∴CF＝6，
∴CE＝3，
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：C．
6．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（ ）
A．α+β+γ＝60°B．α﹣β+γ＝60°
C．α+β﹣γ＝60°D．α+2β﹣γ＝60°
【答案】B
【解答】解：如图所示：

∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠FCG＝60°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠GCE+∠DCE＝α+γ+60°，
又∵∠BCG＝∠ACB+∠FCG+∠ACF＝60°+60°+β，
∴α+γ+60°＝60°+60°+β，
∴α﹣β+γ＝60°．
故选：B．
7．已知，点P是等边三角形ABC的边BC上的一点（点P与点C、点B不重合），则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】D
【解答】解：过点P作PE∥AB交AC于点E，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°，AC＝BC，
∵PE∥AB，
∴∠CEP＝∠CAB＝60°，∠CPE＝∠CBA＝60°，
∴∠CEP＝∠CPE＝∠C＝60°，
∴△CEP是等边三角形，
∴CE＝CP＝PE，
∴AE＝AC﹣CE＝BC﹣CP＝BP，∠AEP＝180°﹣∠CEP＝120°，
∴在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角为120°．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，BC＝12，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F，则EG的长为（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：连接AE，AG，
由条件可知∠C＝∠B＝30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠GAC＝∠C＝30°，
∴∠AEG＝∠AGE＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AE＝EG＝GA，
∴BE＝EG＝GC，
∵BC＝12，
∴ME＝4．
故选：B．
9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（ ）
A．90B．60C．50D．30
【答案】A
【解答】解：设等边△ABC的边长为a．
∵9个三角形都是等边三角形，
∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，
CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，
GF＝HF＝MG＝a+6，
MN＝MW＝a+9．
∵NW＝NA+AW，
∴a+9＝2a．
∴a＝9．
∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN
＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9
＝7a+27
＝63+27
＝90．
故选：A．
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】C
【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝∠B2A3A2＝60°＝∠B1A1A2＝∠B1A2A1，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推：△A7B7A8的边长为27＝128，
故选：C．
11．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是 等边三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，a＝c，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形；
故答案为：等边三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，E为BA的延长线上一点，CE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F，则EF的长为 94 ．
【答案】94．
【解答】解：∵AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，
∴∠B=∠ACB=180°−∠BAC2=30°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE＝180°﹣∠CEB﹣∠B﹣∠ACB＝30°，
∴AE=12AC=32，
∵B＝AC＝3，
∴BE=AB+AE=92，
∵EF⊥BC，∠B＝30°，
∴EF=12BE=94，
故答案为：94．
13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，且点C′在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 12 cm．
【答案】12．
【解答】解：∵△ABC是边长为4cm的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4cm，
由折叠的性质得到：DC′＝DC，EC′＝EC，
∴三个阴影部分的周长的和＝AB+AC+BC＝4×3＝12（cm），
故答案为：12．
12．
14．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥AB于点H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝ 10 ．
【答案】10．
【解答】解：过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，
∵CO平分∠ACB，
∴OE＝OF，
同理得OE＝OH，
∴OF＝OH，
∴AO平分∠BAC，
∴∠BAO=12∠BAC=30°，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∴AO＝2OH＝10．
故答案为：10．
15．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 ①③ ．（填序号）
【答案】①③．
【解答】解：①连接OB，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD=12∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD=12×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，
故①选项正确；
②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故②选项不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
16．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
（1）求B处到灯塔C的距离；
（2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
【答案】（1）B处到灯塔C的距离为30海里；
（2）若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里），
∴∠C＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝30（海里），
答：B处到灯塔C的距离为30海里；
（2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里），
∴CD=12BC＝15（海里），
∵15＜16，
∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
17．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）14．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
∠EBD=∠EFC∠EDB=∠FECED=EC，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB＝2∠BAC．
（1）求∠BDE的度数；
（2）点F在AB上，连接DF，DF＝BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】（1）40°；
（2）△BDF 是等边三角形．理由见解答过程．
【解答】解：（1）在等边△ADE中，∠EAC＝∠ADE＝60°，
∵∠EAB＝2∠BAC，
∴∠BAC＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝80°，
∴∠BDE＝180°﹣∠BDC﹣∠ADE＝40°；
（2）△BDF是等边三角形．理由如下：
由（1）可得∠BDC＝∠ACB＝80°，
∴∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝20°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠FBD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°，
∵DF＝BD，
∴△BDF 是等边三角形．
19．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由．
【答案】（1）PE+PF+PM＝BG，理由见解析；
（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由见解析．
【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，
∴12AB⋅PE+12AC⋅PF+12BC⋅PM=12AC⋅BG，
∴12AB⋅PE+12AB⋅PF+12AB⋅PM=12AB⋅BG，
∴PE+PF+PM＝BG；
（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，
∴12AB⋅PE+12AC⋅PF−12BC⋅PM=12AB⋅BG，
∴12AB⋅PE+12AB⋅PF−12AB⋅PM=12AB⋅BG，
∴PE+PF﹣PM＝BG．
20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
教学目标
掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。
掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。
掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。
教学重难点
重点
等边三角形的性质与判定；
含30°的直角三角形的性质。
2. 难点
（1）利用等腰三角形的性质求线段与求角度；
（2）等边三角形的性质与判定的综合应用；
（3）含30°角的直角三角形的性质的应用。