人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形第2课时教学设计

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●类比导入 定义：有 两边 相等的三角形是等腰三角形．
1．阅读下面的证明过程，完成问题：
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.
解一：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.
解二：作△ABC的角平分线AD.
数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解二是正确的，而解一的作法需要订正．
(1)请你简要说明解一辅助线作法错在哪里；
(2)根据解二的辅助线作法，完成证明过程．
2．有 两个角 相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．
【教学与建议】教学：类比两种方法证明等腰三角形导入课题，激发学生的好奇心和求知欲．建议：先口答后再集体讨论解一和解二．
●悬念激趣 如图，某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树A为目标，然后在这棵树的正南方南岸点B插一小旗作标志，沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB＝30°，这时，地质专家测得BC的长度是60 m，就可知道河流的宽度是60 m.
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的依据是什么吗？他是怎么知道BC的长度就等于河流的宽度的呢？用今天学习的知识可以解决．
【教学与建议】教学：设置悬念，能够让学生积极主动地探索新知识．建议：让学生初步思考，可以先让学生求一下各个角的度数．

· 命题角度1 等腰三角形的判定方法的应用
判定三角形是等腰三角形的方法：(1)定义；(2)“等角对等边”．
【例1】如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①在△ABC中，AB＝AC；②在△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④在△ABC中，AD⊥BC，AD平分BC.其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件有(D)
A．1组 B．2组 C．2组 D．4组
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，
∴△CBD≌△BCE(SAS).
∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
· 命题角度2 等腰三角形的性质与判定的综合运用
综合运用等腰三角形的性质和判定，直接由线段相等得到角相等，或由角相等得到线段相等．
【例3】如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD的长为(C)
A. eq \f(a＋b,2) B． eq \f(a－b,2)
C．a－b D．b－a
【例4】如图，在△ABC中，BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F且交BC于点E.求证：△DBE是等腰三角形．
证明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.
∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，
∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠FEC＝90°.
∴∠D＝∠FEC.∵∠BED＝∠FEC，∴∠D＝∠BED.
∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．
· 命题角度3 等腰三角形的分割问题
把一个三角形分割出新的等腰三角形，一般从两个角度分析解题思路：一是根据定义，即两边相等；二是根据判定，即两角相等．
【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 ①③④ .
eq \(\s\up7(),\s\d5(①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(②)) eq \(\s\up7(),\s\d5(③)) eq \(\s\up7(),\s\d5(④))
【例6】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 4 条．
高效课堂 教学设计
1．理解和掌握等腰三角形的判定方法．
2．利用等腰三角形的判定方法证明相关问题，借助尺规作图作等腰三角形．
▲重点
等腰三角形判定的应用，利用尺规作图作等腰三角形．
▲难点
等腰三角形判定的应用．
◆活动1 新课导入
如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
◆活动2 探究新知
1．教材P80 思考．
提出问题：
(1)等腰三角形的性质是什么？它是怎样被证明的？
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等吗？
(3)怎样判定一个三角形是等腰三角形？
学生完成并交流展示．
2．教材P81 例3.
提出问题：
(1)如何画线段AB的垂直平分线？
(2)例3中是先作底边a，还是先作高h，为什么？
(3)作图的依据是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．有两边相等的三角形是 等腰三角形 .
2．有 两个角 相等的三角形是等腰三角形（简写成“ 等角对等边 ”）.
◆活动4 例题与练习
例1 教材P80 例2.
例2 已知在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD.
∴∠DBC＝∠DCB.∴BD＝CD.
∴△DBC是等腰三角形．
例3 已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．
解：如图．(1)作线段AB＝a；
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；
(3)在MN上取一点C，使DC＝b；
(4)连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形．
练习
1．教材P81 练习第1，2，3题．
2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝4 cm，则CD等于(B)
A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3题图）))
3．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°.若AC＝5 cm，则AB＝ 5 cm .
4．如图，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从点A向北航行30 n mile到点B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．
(1)求∠ACB的度数；
(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？
解：(1)∵∠NAC＝38°，∠NBC＝76°，∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝76°－38°＝38°；
(2)∵∠ACB＝∠NAC＝38°，∴AB＝BC.∵AB＝30 n mile，∴BC＝30 n mile，即轮船在B处时，到灯塔C的距离是30 n mile.
◆活动5 课堂小结
1．等腰三角形的判定．
2．等腰三角形性质与判定的综合应用．
1．作业布置
(1)教材P84～85 习题15.3第4，6，8，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思