人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形巩固练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A . 1，1，2 B . 2，2，5 C . 3，3，5 D . 3，4，5
2.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点 C ， 使得 △ABC是等腰三角形，且 AB为其中一腰．这样的 C点有（ ）个．
A . 7个 B . 8个 C . 9个 D . 10个
3.已知，将等腰直角 △AEB和等腰 Rt△BCD如图所示放置，点 A、 B、 C三点在同一直线上，已知 AC=4 ， 两等腰直角三角形的面积和为5，则阴影部分面积为（ ）
A . 1 B . 32 C . 2 D . 3
4.图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（ ）
A . 30 B . 32.5 C . 35 D . 37.5
5.在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A . 8 B . 9 C . 10 D . 11
6. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A . 450a元 B . 225a 元 C . 150a元 D . 300a元
7. O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）
A . 8cm B . 9cm C . 10cm D . 11cm
8.在下列四个角的度数中，一个不等边三角形的最小角度数可以是（ ）
A . 80° B . 65° C . 60° D . 59°
9.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S △ACD：S 四 边 形BCDE＝1：7，其中，正确的是（ ）
A . 只有①② B . 只有①②③ C . 只有③④ D . ①②④
10.等边三角形的面积是 43 ， 则它的周长等于（ ）
A . 6 B . 63 C . 12 D .123
二、填空题
1.如图，直线 y=43x+8与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段 OA上的一点，若将 △ABC沿 BC折叠，点A恰好落在x轴上的 A'处，若P是y轴负半轴上一动点，且 △BCP是等腰三角形，则P的坐标为 ________ ．

2.三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在 △ABC中， ∠C=45°,2∠A=∠C,AB=5 ， 则 △ABC的面积为 ________ ．
3.如图，点D 是 ABC的边 BC上一点，连接AD，取AD的中点E，连接BE，过点E作BE的垂线，恰好交于点 C，取CE的中点F，连接BF，交AD于点G，若点G恰好为BF的中点， EG=3,BE=4,则 ABC的面积为 ________ .
4.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 ________ 个．
5.如图，两条互相垂直的直线 m、 n交于点 O ， 一块等腰直角三角尺的直角顶点 A在直线 m上，锐角顶点 B在直线 n上， D是斜边 BC的中点，过点 D作 DE⊥OD交直线 n于点 E ． 已知 OD=7 ， BC=4 ， 则 S△AOB= ________ ．
6.已知O为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形 △AOB 中，A(2，4)，点B是x轴上的点，则 △AOB 的面积为 ________ ．
三、作图题
1.如图，已知∠α和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α。
2.如图是由边长为1的小正方形组成的 6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1） 在图1中以线段 AB为边作锐角 △ABC（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）；
（2） 在图2中以线段 AB为腰作等腰直角 △ABC（作出一个即可）， △ABC的面积为______；
（3） 在图3中的直线l上画出点P，使得 PA+PB最短．
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
四、综合题
1.已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90 ° ，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．
求证：
（1） DE =DF；
（2） 若BC =8，求四边形AFDE的面积．
2.在长方形 ABCD中， AB＝8cm， BC＝4cm，动点 P从点 A出发，沿路线 A→ B→ C作匀速运动，速度为2cm/秒，运动的时间为 t秒.
（1） 用含 t的代数式表示点 P运动的路程为 ________ cm，当 t＝4.5时，点 P在边 ________ 上；
（2） 当点 P在线段 AB上运动时，写出△ ADP的面积 S（cm 2）与 t（秒）之间的关系式，并求当 t为何值时， S＝8；
（3） 在点 P运动的过程中，△ ADP的形状也随之改变，判断并 直接写出 t为何值时，△ ADP是等腰三角形．
3.（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， 点E是 BC的中点，若 AE是 ∠BAD的平分线，试判断 AB ， AD ， CD之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长 AE交 DC的延长线于点F，易证 △AEB≌△FEC ， 得到 AB=CF ， 从而把 AB ， AD ， CD转化在一个三角形中即可判断： AB ， AD ， CD之间的等量关系为 ；
（2）如图②，在 △ABC中， ∠B=90° ， AB=1 ， AD是 △ABC的中线， CE⊥BC ， CE=3 ， 且 ∠ADE=90° ， 求 AE的长；
（3）如图③， CB是 △AEC的中线， CD是 △ABC的中线，且 AB=AC ， 判断线段 CE与线段 CD的数量关系，并证明 ∠BCD=∠BCE ．
五、解答题
1.体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接 PA ， 利用 △PAD与 △PAB面积之和是菱形面积的 12 ， 可求出 PE+PF的值．
（1） 如图1，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD的长分别为6和8，点 P为对角线 BD上一动点（不与点 B、 D重合），过点 P分别作 AD和 AB的垂线，垂足为点 E和 F ， 求 PE+PF的值，请你写出求解过程．
（2） 如图2，若 ABCD为矩形，点 M ， N分别在边 AD ， BC上，将矩形 ABCD沿直线 MN折叠，使点 D恰好与点 B重合，点 C落在点 C'处．点 P为线段 MN上一动点（不与点 M ， N重合），过点 P分别作直线 BM ， BC的垂线，垂足分别为 E和 F ， 以 PE ， PF为邻边作平行四边形 PEGF ， 若 DM=13 ， CN=5 ， 求平行四边形的周长；
（3） 如图3，当点P是等边 △ABC外一点时，过点 P分别作直线 AB ， AC ， BC的垂线，垂足分别为点 H1 ， H2 ， H3 ， 若 PH1−PH2+PH3=3 ， 请求出 △ABC的面积，并写出推理过程．
2.石室联合中学以“差异教育，扬长发展”为理念，构建了涵盖品德与人文、信息与科学、体育与健康、艺术与审美、劳动与实践五大板块的博雅课程体系．如图，学校准备开垦一块荒地 △ABC用于劳动与实践课程的教学，测得 AB=AC=15m ， BC=18m ． 为了方便师生进行使用，学校计划在荒地上铺设石板路，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种铺设方案：
八（1）班方案：如图1，过点 A作 AD⊥BC于点 D；沿线段 AD铺设一段石板路．
八（2）班方案：如图2，先过点 A作 AD⊥BC于点 D ， 再过点 D作 DE⊥AB于点 E ， DF⊥AC于点 F；沿线段 DE ， DF铺设两段石板路．
（1） 求 AD的长；
（2） 若铺设石板路的造价为120元/米，请求出各个方案所花费用，并说明哪个班的方案更划算？
3. 把一副三角板按如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△DCE 1（如图乙）．这时AB与CD 1相交于点O、与D 1E 1相交于点F．
（1）求∠OFE 1的度数；
（2）求线段AD 1的长；
（3）若把三角形D 1CE 1绕着点C顺时针再旋转30°得△D 2CE 2 ， 这时点B在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．
4.△ABE和 △AFC均为等腰直角三角形， ∠EAB=∠FAC=90° ．
（1） 如图1，连接 EC ， BF ， EC与 BF交于点 D ， 请问 EC ， BF有怎样的数量和位置关系？为什么？
（2） 如图2，连接 EF ， N是 EF中点，连接 NA并延长交 BC于点 M ． AM与 BC有怎样的位置关系？为什么？
六、阅读理解
1.阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如 x2−4y2−2x+4y ， 细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2−4y2+2x−4y
=(x2−4y2)+(2x−4y)
=(x+2y)(x−2y)+2(x−2y)
=(x−2y)(x+2y+2)
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2−6xy+9y2−3x+9y
（2） ΔABC的三边 a,b,c满足 a2−b2−ac+bc=0 ， 判断 ΔABC的形状．
2.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．