初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形教案，共7页。
微课名称
《等腰三角形的性质》
学科
数学
版本
人教版
教学目标
1.通过探究活动理解并掌握等腰三角形的性质；能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题。
2.在经历等腰三角形性质的探究过程中，体会数形结合和几何直观思想。
3.在探索新知识的过程中，感受数学学习的乐趣，提高学习兴趣。
教学内容
教学重点：
理解并掌握等腰三角形的性质。
教学难点：
能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题。
教学过程
内容
时间
正文讲解
同学们好，欢迎来到本次课堂！
大家平时有关注过家里用来挂衣服的挂衣架吗？
他们虽然材质不同，各式各样，但却有一个共同点，你发现了吗？
学生1：每个挂衣架中间围起来的图形都是个三角形。
学生2：我发现每种挂衣架两侧斜边的长度都分别相等。
是的，每种挂衣架中间围起来的图形都是三角形且这个三角形中的两边相等。
具有这一特性的三角形就是等腰三角形。
思考：等腰三角形具有哪些性质呢？
如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC。
想一想，得到的这个三角形有什么特点？
学生：这个三角形是等腰三角形，即两腰相等，AC=AB
这是为什么？
学生：因为AB和AC两条边是剪刀剪过的，由于是将长方形纸片沿虚线进行的对折，所以上下两半部分是一模一样的，剪出来的边也是相等的。
继续思考，根据上述剪纸活动，在△ABC中，能否找出一些相等（重合）的线段或角？
学生：重合的线段有：AB=AC，BD=CD；重合的角有∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC
这里老师有个疑问：前面我们在学习什么是等腰三角形时，只学习了两腰相等的三角形就是等腰三角形这一个定义，可是在上述剪纸活动中，却发现等腰三角形中还有其他相等的量，由此发现，说明什么问题？
学生：说明等腰三角形具有一定的性质。
非常好，猜一猜，除两腰相等外它还具有什么性质呢？
学生1：等腰三角形的两个底角相等。
学生2：等腰三角形顶角的平分线和底边上的高互相重合。
学生3：不对，我觉得是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一，互相重合。
同学们的想法都不错呢！那么同学们的想法是正确的吗？我们来验证下：
首先，来验证下第一位同学的想法，证明猜想“等腰三角形的两个底角相等”是否正确：
思考：要证两个底角相等，你能想到什么证明方法？
学生：三角形全等。
非常好。要证三角形全等，就要构造出两个三角形，故想到将△ABC一分为二。
方法一：作底边上的高
证明：∵AD是底边BC的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
∵AB=AC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（HL）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
除作底边的高外，还能想到做什么辅助线证三角形全等？
学生：作底边的中线。
同学们自己动笔试着证明下吧！
学生：方法二：作底边上的中线
证明：∵作底边的中线AD
∴BD=CD
在△BAD和△CAD中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
不难发现，通过作底边中线的方式证明三角形全等是用的“三边分别相等的两个三角形是全等三角形”这一判定定理，由此也能证明∠B和∠C相等。
还有其他方法吗？
学生：还可以作顶角的平分线。
方法三：如图，作顶角的平分线
证明：∵AD是顶角的平分线
∴∠BAD=∠CAD
在△BAD和△CAD中
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
通过这种方法也能得到△ABC的两个底角相等，所以第一位同学的猜想正确。
综上可知等腰三角形的第一个性质是：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
数学语言为：
在等腰△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C
再来看看第二位、第三位同学谁的猜想是正确的。来看这个题目：
如图，已知在三角形ABC中，AB=AC。求证：三角形ABC顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
分析：想证三角形ABC顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，就要证∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，就要证△ADB≌△ADC，得到三角形全等后，即可证明相关结论。
证明：∵等腰三角形的底角相等
∴∠B=∠C
又∵AB=AC,AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴①BD=CD，即AD为等腰三角形底边上的中线
②∠ADB=∠ADC
又∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD为等腰三角形的底边上的高
③∠BAD=∠CAD，即AD为等腰三角形的顶角的角平分线
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线
由此得到等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
数学语言为：
在等腰△ABC中，
∵∠1=∠2（AD为顶角的角平分线）
∴BD=CD，AD⊥BC
∵BD=CD（AD为底边上的中线）
∴∠1=∠2，AD⊥BC
∵AD⊥BC（AD为底边上的高）
∴BD=CD，∠1=∠2
也就是说，对于等腰三角形来说，知道其中一条线就可以得到另外两条线（简称“知一得二”）。
同学们明白了吗？看下例题：
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
分析：AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，所以∠ABC=∠C；又已知BD=BC=AD，则∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，由此得到△ABC中三个角的大小关系，再由三角形内角和为180°进行求解即可。
解：∵AB=AC，BD=BC=AD
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有
x+2x+2x=180°
x=36°
∴2x=72°
即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
练习：如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，DE⊥CB于E，∠B=55°，求∠CDE的度数.
学生：解:∵∠B=55°，DE⊥BC
∴∠BDE=25°
∵AC=BC，CD为AB边上的中线
∴.CD⊥AB(三线合一)
∴∠CDE=90°-∠BDE
=90°-25°
=55°
小结：通过本节课的学习，大家都有什么收获？等腰三角形都具有哪些性质？
学生：等腰三角形的两腰相等、两底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
这里还要注意，等腰三角形的“等边对等角”这一性质的前提条件是必须在同一个三角形里！
10分
结尾
本节内容到这里就结束啦，感谢观看，下次再见！
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