初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线精品第2课时复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线精品第2课时复习练习题试卷主要包含了 难点，5cmC．9cmD．12cm等内容，欢迎下载使用。

知识点01 作已知线段的垂直平分线
作已知线段的垂直平分线：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
垂直平分线的证明：
教学目标
掌握线段垂直平分线的画法，能够熟练的话线段垂直平分线以及根据作图痕迹判断并解决相关问题。
掌握画对称轴的方法并能够熟练的画出相应的对。
教学重难点
重点
作线段的垂直平分线并根据作图痕迹解决问题；
判断其他图形的作图痕迹，并根据性质解决相应问题
作轴对称与轴对称图形的对称轴；
2. 难点
（1）利用作图痕迹解决线段垂直平分线的问题，注意区分垂直平分线与角平分线的作图痕迹；
（2）根据作图痕迹判断作图图形，并利用该图形的性质解决相应问题
（3）作轴对称与轴对称图形的对称轴
如图③，连接MA，MB，NA，NB。
由作图过程可知
MA＝MB＝NA＝NB
在△MAN与△MBN中

∴△MAN≌△MBN
∴∠AMO＝∠BMO
在△AMO与△BMO中

∴△AMO≌△BMO
∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°
∴MN垂直平分AB。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长是（ ）
A．6cmB．7.5cmC．9cmD．12cm
【答案】C
【解答】解：由题意得：DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，AE＝CE＝3cm，
∴AC＝AE+CE＝6cm，
∵△ABC的周长为15cm，
∴AB+BC+AC＝15cm，
∴AB+BC＝9cm，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝9cm，
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD．若∠B＝13°，则∠DAC的大小为（ ）
A．26°B．64°C．74°D．77°
【答案】B
【解答】解：由题意可得，MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝13°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣13°﹣13°＝64°．
故选：B．
【即学即练3】
3．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心A，B，C围成的△ABC区域内修建一个电视信号发射塔O，使得该发射塔O到三个乡镇中心A，B，C三地的距离相等，以下选址正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：发射塔O到三个乡镇中心A，B，C三地的距离相等，
则OA＝OC＝OB，
∴点O在线段AB、AC的垂直平分线上，
即线段AB、AC的垂直平分线的交点即为发射塔O，
选项B符合题意．
故选：B．
知识点02 画轴对称或轴对称图形的对称轴
画对称轴：
由轴对称与轴对称图形的性质可知，对称轴是任意一组对应点连线的 垂直平分线 ，所以作对称轴即是作对应点连线的 垂直平分线 。
具体步骤：
找轴对称与轴对称图形的一组对应点；
连接这组对应点；
作这组对应点的垂直平分线，这条垂直平分线即为对称轴。
【即学即练1】
4．请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD；
（2）如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点A、B、D在一条直线上．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）如图1，直线BD为所求，
证明：连接AC，作直线BD，
由条件可知点B在线段AC的垂直平分线上，
∵AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∴直线BD为线段AC的垂直平分线，
∴直线BD为轴对称图形ABCD的对称轴．
（2）如图2，直线BO为所求，
证明：连接AE，CD，交于点O，作直线BO，交CE于点F，
由条件可知BA＝BC，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，BC＝BE，∠BCE＝60°，
∴BA＝BD，BA＝BE，BC＝BD，∠BAE+∠BEA＝60°，∠BCD+∠BDC＝60°，∠ABC＝∠BCE，
∴点B为AD的中点，∠BAE=∠BEA=60°×12=30°，∠BDC=∠BCD=60°×12=30°，CE∥AD，
∴∠OCE＝∠ODA＝30°＝∠OAD＝∠OEC
∴OA＝OD，OC＝OE，
∴OB⊥AD，∠EOF＝∠AOB＝∠DOB＝∠COF，
∴直线BO为线段AD和线段CE的垂直平分线，
∴直线BO为轴对称图形ACED的对称轴．
【即学即练2】
5．如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′成轴对称．
（1）请画出它们的对称轴l；
（2）若CM⊥AB，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点M．
【答案】（1）作图见详解；
（2）作图见详解．
【解答】解：（1）作图如下，
（2）如图所示，点M′即为所求点的位置．
题型01 垂直平分线的作图痕迹解决问题
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．172
【答案】A
【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝3+4＝7．
故选：A．
【变式1】如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．22B．20C．18D．16
【答案】D
【解答】解：由作图可知AD＝AC，
∵分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．
∴MN垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB，
∵AB＝9，AC＝7，
∴△ADE的周长为9+7＝16，
故选：D．
【变式2】如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（ ）
A．20B．21C．25D．30
【答案】C
【解答】解：由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AB＝2AD＝8，
∵△AEC的周长为17，
∴AC+CE+EA＝17，
∴AC+CE+EB＝17，即AC+BC＝17，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17+8＝25，
故选：C．
【典例2】在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
根据线段垂直平分线的性质，得PA＝PC，
∴∠PAC＝∠C＝50°，
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝95°﹣50°＝45°，
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC＝116°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则∠MAN的度数为（ ）
A．52°B．50°C．58°D．64°
【答案】A
【解答】解：∵DE和PQ分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC
在△ABC中，∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣116°＝64°
即∠MAB+∠NAC＝64°，
则∠MAN＝∠BAC﹣（∠MAB+∠NAC）＝116°﹣64°＝52°．
故选：A．
题型02 其他图形的作图痕迹解决问题
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以D、E为圆心、大于12DE为长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G，若CG＝2，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1B．32C．2D．4
【答案】C
【解答】解：由题意知：BG平分∠ABC，
∴当GP⊥AB时有最小值，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CG＝2，
∴GP＝CG＝2，
∴GP的最小值为2，
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有（ ）①AF＝CF；②AD＝BD；③AF＝BF；④∠BAF＝∠FBC．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，根据尺规作图的痕迹得，DF是AB的垂直平分线，BF平分∠ABC，
∴AD＝BD，AF＝BF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAF＝∠ABF，
∴∠BAF＝∠FBC．
所以②③④正确，不能确定AF和CF的关系．
故选：B．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（ ）
A．a+b＝0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0
【答案】C
【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，点P的坐标为（a，b），
∴点P到x轴、y轴的距离相等；
∵点P的坐标为（a，b），
∴a﹣b＝0．
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝81°，点D在边AB上，连接CD，以点C为圆心，小于线段CD长为半径画弧分别交线段BC，DC于E点，F点，连接EF，以点D为圆心，线段CF长为半径画弧交线段DC于G点，以点G为圆心，线段EF长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段CF长为半径所画弧于H点，H点位于CD上方，作射线DH交AC于点I，则∠AID的大小为（ ）
A．50°B．57°C．60°D．64°
【答案】B
【解答】解：在△CEF和△DHG中，
CE=DHCF=DGEF=HG，
∴△CEF≌△DHG（SSS），
∴∠HDG＝∠ECF，
∴DI∥BC，
∴∠AID＝∠ACB＝57°，
故选：B．
题型03 造物选址作图
【典例1】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【变式1】如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处．
如图：点P就是码头应建的位置．
【变式2】如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心（用点D表示）的位置．
【答案】见解答．
【解答】解：如图，点D为所作．
【变式3】电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
题型04 作轴对称（图形）的对称轴
【典例1】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ 3 ．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）3．
【解答】解：（1）如图，直线l即为所求；
（2）S△ABC＝2×4−12×1×2−12×2×2−12×1×4＝3，
故答案为：3．
【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称．
（1）直接写出△ABC的面积 5 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m．
（3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB．
【答案】（1）5；
（2）（3）见解答．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×4−12×1×2−12×2×4−12×3×4＝5；
故答案为5；
（2）如图，直线m为所作；
（3）如图，△DCB为所作．
【变式2】如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于直线l成轴对称．
（1）在图①中用直尺和圆规作出对称轴l；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想：延长线段AB与A′B′，交点P 在 对称轴l上；（填“在”或“不在”）
（3）如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴l．
【答案】（1）见解答．
（2）在．
（3）见解答．
【解答】解：（1）如图①，作线段BB'的垂直平分线l，
则直线l即为所求．
（2）由题意知，延长线段AB与A′B′，交点P在对称轴l上；
故答案为：在．
（3）如图②，连接BC'，B'C相交于点O，延长BC，B'C'相交于点P，作直线OP，
则直线OP即为所求的对称轴l．
1．通过如下尺规作图，能得到BD＝AD的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可知：
当点D在线段AB的垂直平分线上时，
BD＝AD，
尺规作图是作线段AB垂直平分线的是C中的图形．
故选：C．
2．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】C
【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
3．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】B
【解答】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等，
∴水厂应在线段PQ的垂直平分线上，
故选：B．
4．如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，△ABC的对称轴经过格点（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
【答案】C
【解答】解：如图所示：
由题意可知，△ABC的等腰三角形，它的对称轴是底边AB的中线所在的直线，即△ABC的对称轴经过格点P3．
故选：C．
5．如图，AB，CD表示两条公路，E，F表示两个仓库，试找出一点P，使P到两公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则P点为（ ）
A．EF的垂直平分线与CD的交点
B．EF的垂直平分线与AB的交点
C．EF的垂直平分线与AB、CD交角的平分线的交点
D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：可把AB，CD当成两条边，要使距离相等，则只有角平分线到角两边的距离相等，而到EF则只有垂直平分线上的点到线段两端距离最短，所以要使到角两边与一线段的距离相等的点，则只能是其角平分线与垂直平分线的交点．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接MN，交BC于点D．若△ABD的周长为10，AB＝4，则BC的长为（ ）
A．14B．12C．7D．6
【答案】D
【解答】解：由题意知：MN垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝10，
∵AB＝4，
∴BC＝6．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝8，BC＝6，AC＝9．则△ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．17D．23
【答案】C
【解答】解：由作图可知：直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵AB＝8，AC＝9，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+9＝17，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝35°，分别以点B，C为圆心，大于12BC为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于D，E两点，画直线DE与边AB相交于点F，则∠ACF的大小为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣35°＝85°，
由题意得：DE是AC的垂直平分线，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠B＝35°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝50°，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（ ）
A．66°B．77°C．78°D．101°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝68°，
由作图得：AE平分∠BAC，EF垂直平分BC，
∴∠CAE=12∠BAC＝34°，BF＝CF，
∴∠BCF＝∠B＝34°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝44°，
∴∠α＝∠CAE+∠ACF＝78°，
故选：C．
10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，点T在射线OP上，过点T作TM⊥OA，TN⊥OB，垂足分别为M，N，点G，H分别在OA，OB边上，∠OGT+∠THN＝180°．若OM＝5，则OG+OH的值为（ ）
A．12B．8C．152D．10
【答案】D
【解答】解：根据尺规作图的操作可得，OP为∠AOB的角平分线，且TM⊥OA，TN⊥OB，
∴TM＝TN，∠TMG＝∠TNH＝90°，
由条件可知∠TGM＝∠THN，
∴△TGM≌△THN（AAS），
∴GM＝HN，
∵TM＝TN，OT＝OT，
∴Rt△TOM≌Rt△TON（HL），
∴OM＝ON，
∴OG+OH＝OM﹣GM+ON+HN＝2OM＝10，
故选：D．
11．如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ABD＝25°，则∠BDC的度数为 130° ．
【答案】130°．
【解答】解：由作图可知：DE是线段BC的垂直平分线，BF平分∠ABC，
则DB＝DC，∠ABF＝∠CBF，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴∠DCB＝∠CBF＝∠ABD＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130°．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，∠BPC＝ 115 °．
【答案】115．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣40°）＝70°，
根据作图过程可知：BP平分∠ABC，
∴∠PBC=12∠ABC＝35°，
∵点D是AC的垂直平分线上的点，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝70°﹣40°＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠DCB＝180°﹣35°﹣30°＝115°．
故答案为：115．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则∠HAB＝ 18° ．
【答案】18°．
【解答】解：由题意得到：DE垂直平分AC，CG＝GH，
∴CG＝AG，
∴GH＝AG，
∴∠C＝∠CAG，∠GAH＝∠GHA，
∴∠CAG+∠GAH＝∠C+∠GHA=12×180°＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠GHA＝90°﹣36°＝54°，
∴∠BAH＝∠GHA﹣∠B＝18°．
故答案为：18°．
14．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 16 ．
【答案】16．
【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16，
故答案为：16．
15．如图，在△ABC中，
（1）请用无刻度的直尺、图线作出∠CAB的平分线l1，作出BC的垂直平分线l2，l1与l2相交于点D（不写作结，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6，AB＝8，作DM⊥AB，交AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N．求线段AM的长．
【答案】（1）见解答；
（2）7．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）连结DB、DC，如图，
∵BC的垂直平分线为l2，
∴DB＝DC，
∵∠CAB的平分线为l1，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，∠DAB＝∠DAC，
在△DAM和△DAN中，
∠DMA=∠DNA∠DAM=∠DANDA=DA，
∴△DAM≌△DAN（AAS），
∴AM＝AN，
在Rt△DBM和Rt△DCN中，
DB=DCDM=DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
即AB﹣AM＝AN﹣AC，
∴AB﹣AM＝AM﹣AC，
∴AM=12（AB+AC）=12×（6+8）＝7．
16．课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处
建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图的两条依据．
【答案】（1）见详解；
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【解答】解：（1）如图1，点P为所求；
（2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，
连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且点P在∠MON的平分线上，
∴PF=PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
即活动中心P到两条马路的距离相等，
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA=PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
即活动中心P到两个小区的距离也相等，
∴点P为所求作的点．
故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD．
（1）若∠B＝110°，∠BAD＝20°，求∠C的度数．
（2）若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，求△ABD的周长．
【答案】（1）25°；
（2）7cm．
【解答】解：（1）由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE，DA＝DC，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠B＝110°，∠BAD＝20°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝50°，
又∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C，
∴∠C＝25°；
（2）∵△ABC的周长为13cm，AE＝3cm
即AB+BC+AC＝13cm，AC＝6cm，
∴AB+BD+DA+AC＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周长为7cm．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，连接直线MN，交BC于点D，交AB于点E．
（1）求证：直线MN垂直平分线段AB；
（2）若∠ABD＝36°，连接AD，求∠CAD的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）18°．
【解答】（1）证明：连接MA，MB，NA，NB，由作图知，MA＝MB＝NA＝NB，∴点N，M在线段AB的垂直平分线上，
∴直线MN垂直平分线段AB；
（2）解：∵直线MN垂直平分线段AB，连接直线MN，交BC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠ABD＝36°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠DAB＝72°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣72°＝18°．
19．如图，分别以点B和点C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线AM；连接AB、AC；
（1）△ABC是什么三角形？说明理由；
（2）在△ABC中，CE是∠ACB平分线，BF是∠ABC平分线．求证：BF＝CE．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）解：△ABC是等腰角形，
理由如下：
根据作图，AM是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形；
（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵CE是∠ACB平分线，BF是∠ABC平分线，
∴∠FBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，
∴∠FBC＝∠ECB，
在△BCF和△CBE中，
∠FBC=∠ECBBC=BC∠ABC=∠ACB，
∴△BCF≌△CBE（ASA）．
∴BF＝CE．