初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程教学课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程教学课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，导入新课，新知探究，两个连续正整数，x+1，xx+1132，x²+x－1320，规范解答，因式分解求解等内容，欢迎下载使用。
掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.
经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力.
感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心.
我们列一元一次方程、二元一次方程（组）或分式方程解决实际问题时，一般步骤是什么？
1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；2. 设：设未知数；3. 列：根据等量关系列出方程；4. 解：解方程；5. 验：检验解在实际问题中是否有意义；6. 答：写出实际问题的答案.
有两个连续的正整数，它们的乘积是132。你能快速猜出这两个数分别是什么吗？尝试直接计算，是不是感觉有点无从下手？
一个正方形的边长增加2cm后，面积增加了24cm²。试着画个图分析一下，边长和面积的变化藏着什么秘密？原来的正方形边长又是多少呢？
同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题。
已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数.
未知量是： .
等量关系是： .
较小数×较大数=132
设较小的正整数： .
较大的正整数： .
可列方程： .
整理得： .
请用合适的方法解这个方程
整理得：x²+x－132=0
（x－11） (x+12)=0
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?
解方程，得： .
未知量是： .
等量关系是： .
设较小直角边： .
较大直角边： .
勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方
较大直角边： .
得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2
x1=3，x2= – 1
x2= – 1符合题意吗？
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
由勾股定理，得： x2 +(x－1)2 = (x+1)2.
解方程，得 x1=4，x2= 0（不符合题意，舍去）.
∴ 三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
设三个连续正整数中间的数为x ，能列出怎样的方程？
整理方程得：x2－4 x =0
解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.
若设较小的数为x，则较大的数为x + 1。整数之间的差值恒为1，是最基础的设元模型。
若设较小的奇数（偶数）为x，则较大的奇数（偶数） 为x + 2。相邻偶数之间相差2，需注意数值的奇偶性保持一致。
若十位数字为a，个位数字为b，则该数为10a + b，牢记数位的位值意义。
若设中间的数为x，则桑数可表示x - 1 ，x，x + 1。整数之间的差值恒为1，是最基础的设元模型。
一个正方形的边长6cm，在四周加上等宽的边框后，面积增加28cm²，求边框的宽度
设元：设边框的宽度为xcm，则新正方形边长为(6+2x)cm；
等量关系：新图形面积−原图形面积=增加的面积；
列方程求解：(6+2x)²－6²=28，
(6+2x)²－6²=28
解方程，得 x1=1，x2=－7（不符合题意，舍去）.
答：边框的宽度是1cm
用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?
x(20–x) = 96.
解方程，得： x1= 12，x2=8 当x1= 12时，20–x=8 当x2= 8时，20–x=12
因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m.
长×宽=面积=96m²
设矩形的一边长为 x m
∵矩形的周长为 40 m
∴长方形另一边长为 (20–x) m
（2）矩形的长与宽的和是20，一条边比20 的一半多，一条边比20少一点，所以可以设一边为（10+x），那么其邻边长为 .
（1）若设一边长为 x m，根据面积条件那么其邻边长为 .
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗
解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m.
由矩形的周长为 40 m，得
解方程，得 x1= 12，x2=8.
由矩形的面积为 96 m2，得
(10+x)(10–x) =96.
解方程，得 x1=2，x2= – 2.
当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m；当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m.
100－ x2 =4.
方程出现分式，去分母化为整式方程，
利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式解方程
（1）审题意：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系；（2）巧设元：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（3）找等量：提炼等量关系（4）列方程：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；（5）解方程：求出所列方程的解；（6）验实际：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义；（7 ）写答案：根据题意，选择合理的答案作答。
归纳一元二次方程解决实际的通用步骤
例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数.
【分析】 连续偶数差值为2，可设x、x+2，且结果需为偶数，进一步细化验根标准.
（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案．
1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.
解：设矩形的长为 x m，宽为 (20–x) m.当矩形面积为 75 m2 时，x(20–x)=75，解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）.所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m2.当矩形面积为 101 m2时，x(20–x)=101，因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域
2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角.
A．40 B．48 C．52D．56
2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　）
A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40
解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m，∴ 矩形的长为（24﹣2x）m． 根据题意得：x（24﹣2x）＝40．
3．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，
4．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
（1）数字问题：掌握连续整数（差1）、连续偶数（差2）、两位数数位的代数式表示方法，能根据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握正方形、矩形边长变化、留白裁剪问题的等量关系，依托面积公式建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题六步解题法，解题格式规范完整.
（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为一元二次方程代数模型.（2）数形结合思想：面积问题通过画图分析图形结构，直观梳理边长、面积等量关系，化几何问题为代数计算.（3）转化思想：文字情境、图形信息转化为代数式、方程，实现几何与代数的互通转化.（4）严谨验证思想：方程的数学解必须结合实际情境的取值限制筛选有效解.
（1）数字问题：设元错误，混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数”要求，不舍去不合理根；两位数数值直接用数位数字代替，计算错误.（2）面积问题：图形边长增减分析错误，混淆单边、双边增减；误用面积公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效，忽略边长为正数的硬性条件.（3）通用问题：解题步骤残缺，漏检验、漏作答、无单位，解题规范性不足.
1.两个数的和是 26 ，积是 168 ，求这两个数.
2.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长.