人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课后作业题

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1.下列因式分解中正确的是（ ）
A . x2+25=（x+5）（x﹣5）
B . 4x2﹣9y2=（2x+3y）（3x﹣2y）
C . 4x2﹣6x+1=（2x﹣3）2
D . 2x2﹣x﹣6=（x﹣2）（2x+3）
2.下列分解因式错误的是（ ）
A . 1-16a2=(1+4a)(1-4a)
B . x3-x=x(x2-1)
C . a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)
D . m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)
3.如果x 2+mx﹣12=（x+3）（x+n），那么（ ）
A . m=﹣1，n=﹣4
B . m=7，n=4
C . m=1，n=﹣4
D . m=﹣7，n=﹣4
4.如图，边长为a，b的长方形的周长为18，面积为12，则a 3b＋ab 3的值为（ ）
A . 216 B . 108 C . 140 D . 684
5.若 m+n=3 ，则 2m2+4mn+2n2−5 的值为（ ）
A . 13 B . 18 C . 5 D . 1
6.计算 1002−992的结果为（ ）
A . 1 B . 99 C . 100 D .199
7.计算：50 2-100×48+48 2等于（ ）
A . 24 B . 4 C . 36 D . -2
8.下列各式：①4x 2﹣y 2；②2x 4+8x 3y+8x 2y 2；③a 2+2ab﹣b 2；④x 2+xy﹣6y 2；⑤x 2+2x+3其中不能分解因式的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
9.已知 △ABC的三边长分别为a，b，c，且满足 a2−ac=b2−bc ， 则 △ABC一定是（ ）
A . 等腰三角形
B . 等边三角形
C . 直角三角形
D . 等腰直角三角形
二、填空题
1.求 x2−6xy+10y2−4y+10的最小值 ________ ．
2.（因式分解） −x2y+6xy−9y= ________
3.已知mn＝4，n-m＝3，则mn 2-m 2n＝ ________ .
4.已知a为正整数，若关于x的方程x 4+（a+5）x 3+（3a+10）x 2-4a-16=0有四个互不相同的整数根，则a= ________ .
5.在学习对二次三项式x 2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ________ ．
三、计算题
1.1−x2−y2+2xy
2.数学活动：认识算两次
把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次．例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 ．
（1） 如图2，将长为m，宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式______________．
（2） 如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体．
①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x、y的整式分别表示为______________、______________、______________；
②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：x3−y3
③若 x2−3x−1=0 ， 求 x3−1x3的值．
3.计算或因式分解
（1） 计算 20242−2023×2025；
（2） 计算 3x+2y3x−2y−5xx−y−2x−y2；
（3） 因式分解 a3−2a2b+ab2；
（4） 因式分解 ab+a+b+1 ．
4.计算
（1）−12021+−12+3−8−3−2
（2）50×9.52−100×9.5×7.5+50×7.52
四、综合题
1.阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2 ， 就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2 ， 使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2 ， 整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1） 利用“配方法”分解因式：a 2﹣6a+8．
（2） 若a+b=5，ab=6，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值．
（3） 已知x是实数，当x为何值时，此多项式2x 2的最小值是多少．
2.定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 f(a) .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 f(23)=5 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1） 填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ________ ；②计算： f(45)= ________ .
（2） 如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 2(k+1) ，且 f(b)=8 ，请求出“湘一数”b；
（3） 如果一个“湘一数”c，满足 c−5f(c)>30 ，求满足条件的c的值.
3.已知：△ABC的三边别是a，b，c．
（1） 当b 2+2ab=c 2+2ac时，试判断△ABC的形状；
（2） 判断式子a 2-b 2+c 2-2ac的值的符号．
4.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
五、解答题
1.阅读材料，并解答问题．
例题：求多项式 m2+2mn+2n2−6n+13的最小值．
解： m2+2mn+2n2−6n+13=m2+2mn+n2+n2−6n+9+4=(m+n)2+(n−3)2+4 ，
∵(m+n)2≥0 ， (n−3)2≥0 ，
∴多项式 m2+2mn+2n2−6n+13的最小值是 4 ．
（1） 请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________；
当 m2+2mn+2n2−6n+13取最小值 4时， m=______， n=______．
（2） 求多项式 −2x2+4xy−3y2−6y+7的最大值．
2.（1）解方程： x2−1=3；
（2）已知 x=5−2 ， y=5+2 ， 求代数式 x2+2xy+y2的值．
3.下面是某同学对多项式 x2+2xx2+2x+2+1进行因式分解的过程.
解：设x2+2x=y
原式=y(y+2) +1(第一步)
=y2+2y+1(第二步)
=y+12(第三步)
=x2+2x+12(第四步)
请问：
（1） 该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A . 提取公因式法
B . 平方差公式
C . 两数和的完全平方公式
D . 两数差的完全平方公式
（2） 该同学因式分解的结果是否彻底? ________ .(填“彻底“或“不彻底“)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ________ ；
（3） 请你模仿以上方法尝试对多项式 x2−6x+8x2−6x+10+1进行因式分解
六、阅读理解
1.阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式 (x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设 x2+4x=y ， 则原式 =y+1y+7+9（第一步）
＝ y2+8y+16 （第二步）
＝ (y+4)2 （第三步）
故原式 =(x2+4x+4)2 （第四步）．
=(x+2)4； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1） 初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2） 尝试应用：
请你用换元法对多项式 x2−2xx2−2x−2−3进行因式分解；
（3） 灵活运用：
请你将多项式 x(x+3)(x−1)(x−4)+36进行因式分解
2.阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 ​x2+6​x+5​的最小值．
∵​x2+​6​x+5=x2+2​×3​x+​32−​32+5=​x+32−4​，且 ​x+32​≥0​，当 x=−3​时， ​x2+6​x+5​有最小值 −4 ．
请根据上述方法， 解答下列问题：
（1） 若 ​x2+4​x−1=​x+a2+b​，则 a​b​的值是___________．
（2） 求证：无论 x​取何值 ​x2+x+4​都有意义；
（3） 若代数式 ​2​x2+k​x+10​的最小值为2，求 k​的值