初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课后测评，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.若a，b，c三个数满足a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac，则（ ）
A . a=b=c
B . a，b，c不全相等
C . a，b，c互不相等
D . 无法确定a，b，c之间关系
2.阅读材料：若 x2+y2−2x+6y+10=0 ， 求x和y的值．
解：∵ ∵x2+y2−2x+6y+10=x2−2x+1+y2+6y+9=x−12+y+32=0 ，
∴ x−1=0，y+3=0 ． ∴ x=1，y=−3 ．
问题：已知a、b、c是等腰 △ABC的三边，且满足 5a2+b2=6a+4ab−9 ， 求等腰三角形的周长为（ ）
A . 12 B . 15 C . 12或15 D . 3或6
3.若实数x，y，z满足 x−z2−4x−yy−z=0 ， 则下列式子一定成立的是（ ）
A . x+y+z=0 B . x+y-2z=0 C . y+z-2x=0 D . z+x-2y=0
4.多项式x 2y 2﹣y 2﹣x 2+1因式分解的结果是（ ）
A . （x2+1）（y2+1）
B . （x﹣1）（x+1）（y2+1）
C . （x2+1）（y+1）（y﹣1）
D . （x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）
5.若实数 a、 b满足 a2+b2=1 ， 则 ab+a+3b的最小值为（ ）
A . −3 B . −2 C . 1 D . 3
6.下列算式计算结果为x 2﹣4x﹣12的是（ ）
A . （x+2）（x﹣6）
B . （x﹣2）（x+6）
C . （x+3）（x﹣4）
D . （x﹣3）（x+4）
7.将下列多项式分解因式，结果中不含因式 (x-1)的是（ ）
A . x2−1 B . x2−x C . x2−2x+1 D .x2+2x+1
8.已知a，b，c是 △ABC的三边长，且 a2+2ab=c2+2bc ， 则 △ABC是（ ）
A . 直角三角形
B . 等边三角形
C . 等腰三角形
D . 等腰直角三角形
9.现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小明的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．若对于多项式 x4−y4 ， 因式分解的结果是 x−yx+yx2+y2 ， 若 x=10 ， y=6 ， 则 x−y=4 ， x+y=16 ， x2+y2=136 ， 于是可将“416136”作为密码.对于多项式 9x3−xy2 ， 小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（ ）
A . 123933 B . 339321 C . 333912 D . 391233
10.若 m+n=3 ，则 2m2+4mn+2n2−5 的值为（ ）
A . 13 B . 18 C . 5 D . 1
二、填空题
1.生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式 x3−9x分解结果为 xx+3x−3 ． 当 x=20时， x+3=23 ， x−3=17 ， 此时可得到数字密码202317．将多项式 x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当 x=12时可以得到密码121314，则 mn= ________ ．
2.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： x−1 ， a−b ， 5， x2+1 ， a， x+1 ， 分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西．现将 5ax2−1−5bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ________ ．
3.（因式分解） −x2y+6xy−9y= ________
4.已知a为正整数，若关于x的方程x 4+（a+5）x 3+（3a+10）x 2-4a-16=0有四个互不相同的整数根，则a= ________ .
5.若一个整数能表示成 a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为 2=12+12 ， 再如， M=x2+2xy+2y2=x+y2+y2（ x+y ， y是正整数），所以M也是“丰利数”．若 p=4x2−mxy+2y2−6y+9（其中 x>y>0）是“丰利数”，则 m= ________ ．
6.若 20242024−20242022=2025×2023×2024n ， 则 n= ________ ．
7.若m ﹣2n=﹣1，则代数式m 2﹣4n 2+4n= ________ ．
三、计算题
1.按要求解下列各题：
（1） 分解因式： 3a2−18ab+27b2；
（2） 计算： x⋅(−x3)8÷(−x4)3；
（3） 解分式方程： 2x2−4−x2−x=1.
2.阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1） 如图1所示，用两块 a×b型长方形和一块 a×a型、一块 b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．用两种不同的方法计算图1中正方形的面积，可以写出一个熟悉的数学公式：___________：如图2所示，用若干块 a×b型长方形和 a×a型 b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，可以写出 2a2+3ab+b2因式分解的结果等于：___________；
（2） 如图3，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为 a+b+c的正方形．就可以得到一个等式，这个等式是___________；
请利用这个等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足 a+b+c=2，ab+bc+ac=−12 ， 求 a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足 2x×4y×8z=1024，x2+4y2+9z2=34 ， 求 2xy+3xz+6yz的值．
3.计算：
（1） 计算： 5x+3yx2−y2−2xx2−y2 ；
（2） 解方程： 2x2x−5−22x+5=1 ．
四、综合题
1.观察下列分解因式的过程： a2+2ab−3b2 .
解：原式=a2+2ab+b2−b2−3b2
=(a2+2ab+b2)−4b2
=(a+b)2−(2b)2
=(a+b+2b)(a+b−2b)
=(a+3b)(a−b)
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
（1） 请你运用上述配方法分解因式： a2+4ab−5b2 ；
（2） 代数式 a2+2a+b2−6b+12 是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由.
2.阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2 ， 就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2 ， 使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2 ， 整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1） 利用“配方法”分解因式：a 2﹣6a+8．
（2） 若a+b=5，ab=6，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值．
（3） 已知x是实数，当x为何值时，此多项式2x 2的最小值是多少．
3.已知：△ABC的三边别是a，b，c．
（1） 当b 2+2ab=c 2+2ac时，试判断△ABC的形状；
（2） 判断式子a 2-b 2+c 2-2ac的值的符号．
4.定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 f(a) .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 f(23)=5 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1） 填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ________ ；②计算： f(45)= ________ .
（2） 如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 2(k+1) ，且 f(b)=8 ，请求出“湘一数”b；
（3） 如果一个“湘一数”c，满足 c−5f(c)>30 ，求满足条件的c的值.
5.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
五、解答题
1.阅读下面题目的解题过程：
x2+8x+7
=(x2+8x+16)−16+7（先加上16，再减去16）
=(x+4)2−32（用完全平方公式）
=(x+4+3)(x+4−3)（用平方差公式）
=(x+7)(x+1)
又如：
x2−4x−5
=(x2−4x+4)−4−5
=(x−2)2−32
=(x−2+3)(x−2−3)
=(x+1)(x−5)
像上面这样通过加减项配出完全平方式把多项式分解因式的方法叫配方法，请你用上述方法把下列多项式因式分解：
（1） x2+6x+5；
（2） m2-m-12 ．
2.学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.现有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片.
（1） 如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）.方法1： 方法2：
（2） 若 a+b-6+ab-4=0，求 a-b2的值；
（3） 如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可以拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根据图形的面积关系，因式分解： m2+3mn+2n2 .
3.我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−4=x+1+2x+1−2=x+3x−1
例如：求代数式 2x2+4x−6的最小值 2x2+4x−6=2x2+2x−3=2x+12−8 ． 可知
当 x=-1时， 2x2+4x−6有最小值，最小值是 -8 ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 分解因式： m2−6m−16= ；
（2） 若 a、b满足 a2+b2-4a+6b+13=0 ， 求 ba的值；
（3） 已知 P=715m-1 ， Q=m2-815m（ m为任意实数），比较 P、Q的大小；
（4） 当 x、y为何值时，多项式 x2-2xy+2y2+4x-10y+29有最小值，并求出这个最小值．
六、阅读理解
1.19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式 x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和 x22+22的形式，要使用公式法就必须添一项 4x2 ， 随即将此项 4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−(2x)2=x2+2+2xx2+2−2x ， 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
（1）利用“热门定理”把 m4+64分解因式．
热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式 x2+2xa−3a2 ， 可以先加上一项 a2 ， 使它与 x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去 a2 ， 整个式子的值不变，于是有 x2+2xa−3a2=x2+2xa+a2−a2−3a2=(x+a)2−4a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a) ， 像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式： a4+a2+1 ．
2.阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式 (x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设 x2+4x=y ， 则原式 =y+1y+7+9（第一步）
＝ y2+8y+16 （第二步）
＝ (y+4)2 （第三步）
故原式 =(x2+4x+4)2 （第四步）．
=(x+2)4； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1） 初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2） 尝试应用：
请你用换元法对多项式 x2−2xx2−2x−2−3进行因式分解；
（3） 灵活运用：
请你将多项式 x(x+3)(x−1)(x−4)+36进行因式分解