高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质教案及反思，共4页。
性质1 对任意的事件A，都有__P(A)≥0__.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝__1__，P(∅)＝__0__.
性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__.
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__1－P(A)__，P(A)＝__1－P(B)__.
性质5 如果A⊆B，那么P(A)__≤__P(B).
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)－P(A∩B)__.
[知识解读] 1．概率的加法公式
(1)当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式.
(2)一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
(3)P(A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1．
2．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 互斥事件概率公式的应用
典例1 (1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝eq \f(1,6)，求出现1点或2点的概率.
(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝eq \f(3,10)，P(B)＝eq \f(1,2)，求这3只球中既有红球又有白球的概率.
[解析] (1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,3)，所以出现1点或出现2点的概率是eq \f(1,3).
(2)因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(3,10)＋eq \f(1,2)＝eq \f(4,5)，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是eq \f(4,5).
[归纳提升] (1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.
【对点练习】❶ 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
[解析] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
题型二 概率一般加法公式(性质6)的应用
典例2 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
[解析] 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，
则P(A)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(1,4).
记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能.即(1,4).
故P(A∩B)＝eq \f(1,12).
所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,12)＝eq \f(5,12).
[归纳提升] (1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助图形理解.
(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.
【对点练习】❷ 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).
[解析] P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．
题型三 利用互斥与对立的概率公式多角度求解
典例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事件A)的概率是eq \f(1,4)，取到方块(事件B)的概率是eq \f(1,4)，求取到黑色牌(事件D)的概率.
[分析] 先确定事件D的对立事件C(取到红色牌)，也就是事件C就是所求事件D的对立事件，而事件C包含A和B两个彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根据对立事件概率公式求解.
[解析] 记“取出的是红色牌”为事件C，则C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥.
根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,2).
又因为事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，
因此事件C与事件D是对立事件，
所以P(D)＝1－P(C)＝eq \f(1,2).
[归纳提升] 对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
【对点练习】❸ 某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击比赛成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表：
求该射击运动员射击一次.
(1)命中9环及10环的概率.
(2)命中不足7环的概率.
[解析] 记“射击一次命中k环”的事件为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A，则当A9或A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10).因此命中9环或10环的概率为0.60．
(2)方法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10．
方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10．
易错警示
忽略概率加法公式的应用前提
典例4 投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是eq \f(1,6)，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝ __eq \f(2,3)__.
[错解] 因为P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1．
[错因分析] 造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥.此题的两个事件A，B不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A，B同时发生，故此题应用性质6．
[正解] 因为P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
[误区警示] 在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，一定要注意公式成立的前提，即事件A与事件B互斥.若事件A，B不互斥，则应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
【对点练习】❹ 甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.
[解析] 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9．排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
命中环数
6及以下
7
8
9
10
概率
0.10
0.12
0.18
0.28
0.32