高中数学人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性公开课教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性公开课教学设计，共7页。教案主要包含了复习回顾，搭建研究框架，关注框架，明确研究对象，已有基础，提出研究问题，关注本质，建构数学概念，数学应用，解决实际问题，课堂小结，概括提升认识等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
春季
课题
事件的相互独立性
教学目标
1. 结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义.
2. 结合古典概型，利用事件的独立性计算概率 .
教学内容
教学重点：
1. 了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.
教学难点：
1. 在实际问题情境中判断事件的独立性.
教学过程
引言：通过前面的学习，我们已经初步形成了“概率”这一章的研究框架.请同学们对
照自己画的知识结构图，一起复习回顾一下.
一、复习回顾，搭建研究框架
建立“概率” 研究的框架.
师生活动：课前学生根据学习任务单中的问题，回顾本章“概率”已有的研究内容，构建本章知识结构图，并在课上进行交流.
二、关注框架，明确研究对象
问题1：关注研究框架，你们认为还有哪些问题需要研究？
师生活动：教师引导学生关注知识结构图，学生进行思考后发现其中还需要研究的问题，并回答问题，讨论提出本节课要研究的问题涉及到积事件的概率 .
设计意图：通过知识结构图的梳理，帮助学生从整体上认识本章研究内容，并提出本节课的研究问题，培养学生提出问题的能力.
三、已有基础，提出研究问题
师生活动：教师引导学生回顾之前的已有研究，在这个“不放回摸球试验”中，依据古典概型求得，，
问题2：在例9中，连续两次摸球，A=“第一次摸到红球”发生与否会影响 B=“第二次摸到红球”发生的概率吗？ 请解释你的思考.
师生活动：让学生从直观上判断“有影响”.因为是不放回摸球，所以“第一次摸到红球” 会影响“第二次摸到红球” 的概率.
追问（1）：若改成“有放回”呢？
试验1：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： （1）A=“第一次摸到红球”；（2）B=“第二次摸到红球”；（3）AB=“两次都摸到红球”
师生活动：让学生从直观上判断“不影响”.因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率. 教师引导学生举更多的例子：
试验2:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验3:掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚点数大于4”.
追问（2）：上述随机试验各定义了一对随机事件A和B，事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
师生活动：教师引导学生通过直观判断发现：事件A发生与否都不影响事件B发生的概率.
设计意图：选择三个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.
四、关注本质，建构数学概念
问题3：这种关系的数学本质是什么呢？积事件AB的概率与事件A,B发生的概率一定有关系，那么从概率的角度你能有什么发现？
师生活动：学生独立思考解决问题，教师观察学生如何计算P(A),P(B),P(AB)，并给予个别指导.选择学生代表表达与交流思维过程.
试验1：
，所以.
试验2：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为，包含4个等可能的样本点.而 ，，所以，所以.所以.
试验3：
，所以.
教师小结：这三个随机试验都满足事件A和B同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述三个试验的共同属性进一步抽象概括，我们引入这种事件关系的一般定义：
对任意两个事件A和B，如果 P(AB)= P(A) P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立（mutually independent），简称为独立.
设计意图：让学生探索两个试验中事件A和B之间关系的共同数学本质属性P(AB)= P(A) P(B)，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的数学定义.
探究（1）：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： （1）A=“第一次摸到红球”；（2）B=“第二次摸到红球”；（3）AB=“两次都摸到红球”.
例9 “不放回摸球”试验中的随机事件A和B是否都相互独立？你有哪些方法来判断？
师生活动：让学生基于上述定义，利用两个事件相互独立的定义下判断，此时因此，事件A和事件B不独立；
教师小结：判断两个事件是否相互独立的方法（1）直观意义（方便快捷地判断是否相互独立）；（2）定义判断（检验我们的直观分析是否可靠）.
探究（2）：考虑两个特殊的随机事件与任意一个随机事件是否相互独立，即必然事件与任意事件是否相互独立？不可能事件与任意事件是否相互独立？为什么？请给出你的推理过程.
师生活动：学生对必然事件、不可能事件与任意事件是否相互独立进行探讨，教师在推理证明时给予指导.
方法1：直观意义.必然事件必然发生，不影响任何事件的概率，不可能事件肯定不可能发生，也不影响任何事件.
方法2：推理论证.
； .
设计意图：根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.
探究（3）：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以试验1“有放回的摸球”试验为例，分别验证A与， 与B，与是否独立？你有什么发现？请给出你的推理过程.
师生活动：学生分组解决不同的问题，先独立思考，再合作交流，给出推理证明.以A与为例：
定义验证：；“第二次没摸到红球”，所以；“第一次摸到红球，第二次没摸到红球”，所以.所以.
推理证明：对于A与，因为，而且与互斥，
所以，所以
，
由事件的独立性定义，A与相互独立.
教师小结：由事件的独立性定义可以证明事件A与相互独立，事件与B,，和也都相互独立.这是事件的独立性的一个性质.
设计意图：类比事件A与事件B相互独立的问题，得出与事件A， B相互独立彼此等价的三条性质.这里提出新的问题，既是知识的自然延伸，又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.
五、数学应用，解决实际问题
例1 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲乙两个人射击的结果互不影响，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
师生活动：先分析随机试验，用集合语言表示随机事件.由于涉及较多的符号推理与运算，应给予学生充分的时间独立研究，并鼓励学生表达交流运算与推理的过程.
设计意图：利用事件独立的性质，计算较复杂事件的概率.
六、课堂小结，概括提升认识
1.研究了事件的相互独立性的哪些内容？
事件相互独立的含义
如何判断事件是否相互独立
事件相互独立的性质
事件独立性的应用
2. 按怎样的路径研究独立性的？
一般的一个数学对象应按照怎样的路径开展研究？
你能联想类比其他数学对象的研究过程吗？
3.为什么要研究事件的独立性？
问题：连续抛掷一枚质地均匀的硬币，如果前5次的结果都是“反面朝上”，那么第6次最可能出现的结果是什么？”
心理学“代表性启发式”：大多数人倾向于连续发生的事件总是有联系的，人们做决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响. 人们常受错误概念影响，忽略了事件之间的独立性.
4.你还有什么困惑或问题？
①两个事件互斥与独立有什么区别？
②两个事件相互独立，能推广吗？三个事件相互独立是如何定义的？
多个事件的独立性是如何定义的？