初中数学二次函数与一元二次方程导学案

这是一份初中数学二次函数与一元二次方程导学案，文件包含专题54二次函数与一元二次方程举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题54二次函数与一元二次方程举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc19401" 【题型1 抛物线与x轴的交点】 PAGEREF _Tc19401 \h 3
\l "_Tc20557" 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 PAGEREF _Tc20557 \h 6
\l "_Tc12985" 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 PAGEREF _Tc12985 \h 9
\l "_Tc26488" 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 PAGEREF _Tc26488 \h 14
\l "_Tc29032" 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 PAGEREF _Tc29032 \h 17
\l "_Tc26242" 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 PAGEREF _Tc26242 \h 20
\l "_Tc27681" 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 PAGEREF _Tc27681 \h 25
\l "_Tc4973" 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 PAGEREF _Tc4973 \h 29
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x1取到x2时，对应y的值出现y1>0，y2y2，则说明x2是近似根；反之，则说明x1是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:
（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数y=ax2−4ax+4a+4（a为常数且a≠0）．
(1)当函数图象经过4,0，求该二次函数的表达式．
(2)若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点Ax1,y1,Bx2,y2，其中x1y2．
【答案】(1)y=−x2+4x
(2)该二次函数图象与x轴无交点，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令ax2−4ax+4a+4=0，可得Δ=−4a2−4a4a+4=−16a0，即可得y1>y2．
【详解】（1）解：将4,0代入y=ax2−4ax+4a+4，
得16a−16a+4a+4=0，
解得a=−1，
∴该二次函数的表达式为y=−x2+4x．
（2）解：该二次函数图象与x轴无交点．
证明：令ax2−4ax+4a+4=0，
∵a>0，
∴Δ=−4a2−4a4a+4=16a2−16a2−16a=−16a0，
即y1>y2．
【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线y=x2−6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于x的方程0=x2−6x+a有两个相等的实数根，
∴Δ=36−4a=0，
解得：a=9，
故答案为：9．
【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数y=x2+2mx+m2−2m−3(m为常数)的图象与x轴有交点，当x>2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−32B．−32≤m≤2C．m2时，y随x的增大而增大，可得m≥−2，从而得出选项．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2mx+m2−2m−3（m为常数）的图象与x轴有交点，
∴Δ=2m2−4×1×m2−2m−3≥0，
解得：m≥−32，
∵抛物线对称轴为直线x=−2m2×1=−m，抛物线开口向上，当x>2时，y随x的增大而增大，
∴−m≤2，
∴m≥−2
∴m的取值范围是m≥−32，
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数y=ax2−(a+1)x−2a−1（a为常数，a>0）．
(1)若该二次函数图象关于直线x=1对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点M(1,y1)，N(2,y2)满足y112；
(3)y1+y2≥0 ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线x=1即可求出a=1；
（2）将点M(1,y1)，N(2,y2)代入二次函数解析式，表示出y1−y2，根据y12，
∴x1>2−x2，
∴−x10．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位m>0，若平移后的抛物线过点0,−8，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值．
(2)已知点M2,2n+1，N−1,3n+2在抛物线上，且c−1，进而即可求解．
【详解】（1）解：①∵y=ax2−2ax+ca>0，a=c
∴y=ax2−2ax+a=ax−12
∴抛物线的顶点坐标为1,0，
②∵将抛物线向下平移m个单位m>0，
∴平移后抛物线解析式为y=ax−12−m，
把0,−8代入，得a0−12−m=−8，
∴a=m−8
∴y=m−8x−12−m=m−8x2−2m−8x−8
设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x1，x2，
则x1+x2=2，x1⋅x2=88−m，
∴x12+2x1x2+x22=4
∴x12+x22=16−4m8−m
∵平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴x1−x2=6
∴x12−2x1x2+x22=36
∴16−4m8−m−168−m=36
解得：m=9
经检验，m=9是分式方程的解，且符合题意，
∴m=9．
（2）解：把M2,2n+1，代入y=ax2−2ax+ca>0，得
c=2n+1，
∵c−1，
∴−1