初中数学苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程示范课课件ppt

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二次函数与一元二次方程的关系二次函数图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的符号关系
二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系一般地， 从二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的图象可知： 如果抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的一个根
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)与二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下：
拓宽视野：1. 已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m 时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m； 反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m 可以看成是已知y=ax2+bx+c的函数值y=m，求自变量x的值. 方程ax2+bx+c=m 的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的公共点的横坐标.
2. 二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次方程ax2+bx+c=0 的关系密切，二者可以相互转化. 已知二次函数的值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0; 反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=0 可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0，求自变量x 的值.
若抛物线y＝ a(x－1)2+k与x 轴的一个交点坐标为(－ 2，0)，则与x 轴的另一个交点坐标为( )A. (0，0)　　B. (2，0)　　C. (3，0)　　D. (4，0)
解题秘方：紧扣抛物线与x 轴的两个交点坐标与抛物线对称轴的关系求解．
方法技巧：利用对称轴法求一元二次方程的根：根据一元二次方程与二次函数的关系，当已知抛物线与x轴的一个公共点的坐标和对称轴时，可根据轴对称的性质求出抛物线与x轴的另一个公共点的坐标，从而求得对应一元二次方程的根.
解：根据题意，可知抛物线y＝a(x－1)2+k的对称轴为直线x＝ 1.∵点(－2，0)关于直线x＝1 的对称点为(4，0)，∴抛物线与x 轴另一个交点的坐标为(4，0)．
二次函数图象与一元二次方程的近似解的关系
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0的解(1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，公共点的个数就是方程ax2+bx+c=0 的解的个数.
(2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解.
方法点拨：估计一元二次方程的解的方法：在难以读出公共点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解，对于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0， 且ax22+bx2+c<0， 那么在x1与x2之间存在一个解， 取x3= ，若ax23+bx3+c>0， 则取x4= ； 若ax23+bx3+c<0，则取x4= .这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.
2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的解(1)将一元二次方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式；(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2 和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
根据下列表格中y＝ ax2+bx+c 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0(a ≠ 0，a，b，c 为常数)的一个解x的范围是___________．
6.18＜ x＜6.19
解题秘方：紧扣二次函数的函数值y由负变为正时，自变量x的取值即可．
解：由表格中的数据看出函数值为－0.01 和0.02 更接近于0，根据表格可知，当y＝－ 0.01 时， x＝ 6.18，当y＝ 0.02 时， x＝ 6.19，故x 应取对应的范围是6.18 ＜x＜ 6.19．
二次函数y＝－ x2+mx的图象如图5.4-1，对称轴为直线x＝ 2，若关于x 的一元二次方程－x2+mx －t＝ 0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是( )A. t＞－ 5 　　　　　　B. －5 ＜ t ＜ 3C. 3＜ t ≤ 4　　　　　　　D. －5 ＜ t ≤ 4
解题秘方：利用“关于x的一元二次方程－x2+mx －t＝0 的解就是抛物线y＝－x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标”解决问题．
解：∵关于x 的一元二次方程－x2+mx－t＝ 0，∴－x2+mx ＝ t．∴ 关于x的一元二次方程－x2+mx － t＝ 0 的解就是抛物线y＝－x2+mx 与直线y＝t 的交点的横坐标．∵抛物线y＝－x2+mx 的对称轴为直线x＝ 2，∴ m ＝ 4．∴ y＝－ x2+4x.当x＝ 1 时，y＝－x2+4x ＝ 3．当x＝ 5 时，y＝－ x2+4x ＝－5．
如图5.4-2 所示，由图象可知，若关于x的一元二次方程－x2+mx － t ＝ 0(t为实数)在1 ＜x＜ 5 的范围内有解，则直线y＝ t 在直线y＝－5 和直线y＝4 之间包括直线y ＝ 4．∴－5＜t≤ 4．
拓展：图象法求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的其他方法：①将方程变形为ax2+bx=－c，再分别作抛物线y=ax2+bx和直线y=－c，则直线y=－c 与抛物线y=ax2+bx的交点的横坐标即为方程的根.②将方程变形为ax2=－bx－c，再分别作抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，则直线y=－bx－c与抛物线y=ax2的交点的横坐标即为方程的根.
③将方程变形为ax+b=－ ，再分别作直线y=ax+b和双曲线y=－ ，则直线y=ax+b和双曲线y=－ 的交点的横坐标即为方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象特征与a，b，c 的符号关系
二次函数y=ax2+bx+c中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x轴的交点情况，具体如下表：
收藏夹：对于二次函数y=ax2+bx+c：当x=1 时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0；若y ＞ 0，则a+b+c ＞ 0；若y ＜ 0，则a+b+c ＜ 0.当x=－1 时，y=a-b+c，此时，若y=0，则a-b+c=0；若y ＞ 0，则a-b+c ＞ 0；若y ＜ 0，则a-b+c ＜ 0.
在平面直角坐标系中，如图5.4-3 是二次函数y＝ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象的一部分，给出下列命题：① a+b+c＝ 0；② b＞2a；③方程ax2+bx+c＝ 0 的两根分别为－ 3 和1；④ b2－4ac＞ 0，其中正确的命题有( )1 个　　　　 2 个　　　　3 个　　　　4 个
方法点拨：当x＝1时，对应的函数值y ＝ax2+bx+c ＝a+b+c，观察图象可知此时，抛物线上对应的点在x轴上，说明此时的函数值y＝0，即得a+b+c ＝ 0．
解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断．
解：观察图象可知，抛物线经过点(1，0)，把点(1，0)的坐标代入y＝ax2+bx+c，得a+b+c＝0，故①正确；抛物线的对称轴为直线x＝－1，即－ ＝－ 1，整理得b＝2a，故②不正确；
由对称轴为直线x＝－1，且过点(1，0)，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为(－3，0)，因此方程ax2+bx+c ＝ 0 的两根分别为－ 3 和1，故③正确；由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac ＞ 0，故④正确.
根据二次函数的图象可知，抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2+bx+c＝ 0的根的判别式b2－ 4ac ＞ 0．
二次函数与一元二次方程