第五章 二次函数（举一反三讲义）数学苏科版九年级下册+答案

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第五章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31705" 【培优篇】  PAGEREF _Toc31705 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc8676" 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】  PAGEREF _Toc8676 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc19851" 【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】  PAGEREF _Toc19851 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc2415" 【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】  PAGEREF _Toc2415 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc4268" 【题型4 二次函数与几何变换】  PAGEREF _Toc4268 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc9189" 【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】  PAGEREF _Toc9189 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc8795" 【拔尖篇】  PAGEREF _Toc8795 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc9672" 【题型6 利用二次函数的性质求最值】  PAGEREF _Toc9672 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc27010" 【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】  PAGEREF _Toc27010 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc5379" 【题型8 利用二次函数的性质比较大小】  PAGEREF _Toc5379 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc19556" 【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】  PAGEREF _Toc19556 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc24260" 【题型10 二次函数的应用】  PAGEREF _Toc24260 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc2952" 【题型11 二次函数中的存在性问题】  PAGEREF _Toc2952 \h 18知识点1 二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.一次项系数常数项二次项系数（a不为0）b,c没有条件限制必须化为一般形式，方可判断各项的系数y=ax2+bx+c二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义.知识点2 列二次函数关系式1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质1. 二次函数的图象和性质2. 二次函数y=ax2(a≠0) 的图象的画法（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．3. 几种二次函数图象间的平移规律例如：y=2(x−5)2+3的图象是由y=2x2的图象先向上平移3个单位长度得到y=2x2+3的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由y=2(x−5)2+3的图象先向下平移3个单位长度得到y=2(x−5)2的图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．知识点4 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质1. 一般式与顶点式的转化利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h)2+k，其中h=−b2a，k=4ac−b24a，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=−b2a，顶点坐标为−b2a，4ac−b24a．2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系知识点5 求二次函数的解析式1. 待定系数法根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．（1）一般式：已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．（2）顶点式：已知抛物线顶点（ℎ，k）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为y=a(x−h)2+k(a≠0)，特殊地，若抛物线顶点在原点，则ℎ=k=0，设其解析式为y=ax2(a≠0)．（3）交点式：已知抛物线与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），可设解析式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)．2. 平移（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．3. 二次函数关于点或直线对称的解析式若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：（1）关于x轴对称的抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx−c；y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ)2−k．（2）关于y轴对称的抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=ax2−bx+c；y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=a(x+ℎ)2+k．（3）关于顶点对称的抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c−b22a；y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ)2+k．知识点6 二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：知识点7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．通过列表求近似根的具体过程：在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x1取到x2时，对应y的值出现y1>0，y2y2，则说明x2是近似根；反之，则说明x1是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．知识点8 二次函数与一元二次不等式的关系利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：知识点9 利用二次函数解决实际问题1. 一般步骤(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际．2. 求二次函数最值将解析式写成y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数y=ax2+bx+c使用配方法，则当x=−b2a时，y有最大（小）值4ac−b24a．3. 实际问题与二次函数的联系转化实际问题数学模型转化回归（抛物线形实物与轨迹问题）（二次函数的图象和性质）拱桥问题转化的关键抛物线形运动轨迹问题建立恰当的平面直角坐标系①能够根据实际距离准确地得出点的坐标；②选择运算简便的方法解决问题 【培优篇】【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与函数y=bx2−ax的图象可能是（    ）A． B．C． D．【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=cx+ab的大致图象可能是（   ）A．B．C．D．【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+c图象如图所示，则函数y=−ax2−bx+kx+1图象可能是（    ）A．B． C． D．【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=mx+n2和一次函数y=mx+nm≠0,n≠0的图象大致为（   ）A． B．C． D．【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc