数学九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程同步练习题

这是一份数学九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程同步练习题，共14页。试卷主要包含了已知二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。

1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
2、已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
3、若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
4、王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为( )
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5

5．如图，已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
6、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的根是( )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
7、已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有交点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞－1 C．－1＜a≤2 D．－1≤a＜2
8、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
二．填空题
9．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 ．
10．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝ ．
11．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
12．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．
13如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
三．解答题
14．已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；
（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．
（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？
15、如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
16、已知抛物线y= -x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．
17、某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝________．
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
③若关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是____________．

18．如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2＝x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是 ．（直接写出结果）
19．如图，二次函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+3（k≠0）的图象的一个交点为A，点A的横坐标为﹣2，另一个交点C在y轴上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x取何值时，一次函数值大于二次函数值？
（3）将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点B，请判断点B是否在该二次函数的图象上．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2、已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，解得：．故选：C．
3、若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【答案】A 【解析】 ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－2）2－4b>0，,b≠0，))解得b＜1且b≠0.
4、王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为( )
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5

【答案】A [解析] ∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴王芳选择的y轴为直线m4.
∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴王芳选择的x轴为直线m1.
5．【分析】先表示出OD，进而表示出AD，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：如图，由y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣1）（x﹣3）知，A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
令x＝0，y＝3m，
∴C（0，3m），
∴OC＝3m，
过点A作AD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝m，
∴CD＝OC﹣OD＝2m
∵AC是∠OCB的平分线，
∴∠OCA＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠BCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴AD＝CD＝2m，
在Rt△OAD中，根据勾股定理得，AD2﹣OD2＝OA2，
∴（2m）2﹣（m2）2＝12，
∴m＝﹣（舍）或m＝．
故选：D．
【点评】主要考查了抛物线与x轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
6、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
7、已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有交点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞－1 C．－1＜a≤2 D．－1≤a＜2
[解析] D y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7＝x2－2ax＋a2－3a＋6.
∵抛物线与x轴没有交点，
∴(－2a)2－4(a2－3a＋6)<0，
解得a<2.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(－2a,2)＝a，抛物线开口向上，
且当x<－1时，y随x的增大而减小，
∴a≥－1，
∴实数a的取值范围是－1≤a＜2.
故选D.
8、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
【答案】A [解析] ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.
二．填空题
9．【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
则OE＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP的最大值，进而求解．
10．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得m＜或m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝．
故答案为：1或0或．
11．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根
∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．
12．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：6.18＜x＜6.19．
13．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
三．解答题
14．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；
（2）先将函数y＝mx2+2mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx2．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，
∴，
解得，m＜0，
即m的取值范围是m＜0；
（2）∵函数y＝mx2+2mx+m﹣4＝m（x+1）2﹣4，
∴函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx2的图象．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程的定义、根的判别式、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
15、如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
16、已知抛物线y= -x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．
解答：（1）证明：∵△=m2-4×（-1）（7-2m）=m2-8m+28=（m-4）2+12＞0，
∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）
∴-x2+mx+（7-2m）=0的两个根是x1，x2
由AB=4得|x2-x1|=4， ∴（x2-x1）2=16， 即（x1+x2）2-4x1x2=16，
由根与系数关系得x1+x2=m，x1x2=2m-7
∴m2-4（2m-7）=16，即m2-8m+12=0，解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于C，∴7-2m＞0， ∴m＜3.5，∴m=6舍去，即m=2，
∴抛物线的解析式为y= -x2+2x+3．
17、某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝________．
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
③若关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是____________．

解：(1)0
(2)如图所示：

(3)答案不唯一，如：①函数y＝x2－2|x|的图象关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大．
(4)①3 3 ②2 ③－118【分析】（1）用待定系数法进行解答；
（2）联立两个函数解析，求出M、N点的坐标，由抛物线顶点坐标公式求P点坐标，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，根据S△PMN＝S△PMF+S△PNF求△PMN的面积；
（3）根据观察函数图象，直接写答案便可．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解方程组，得
，，
∴M（﹣，﹣），N（4，5），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，﹣4），
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴F（1，），
∴PF＝，
∴S△PMN＝S△PMF+S△PNF＝•PF•（xN﹣xM）＝××（4+）＝；
（3）当y2＝0时，0＝，
解得，x＝，
∴直线y2＝x﹣1与x轴的交点为（，0），
由图象可知，当y1＜y2≤0时，﹣＜x≤．
故答案为：﹣＜x≤．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
19【分析】（1）由一次函数y2＝kx+3（k≠0）求出C点坐标，再把所得C点坐标代入二次函数y1＝，便可求得m；
（2）求出A点坐标，再由函数图象观察，直线在抛物线上方时，x的取值范围；
（3）过B点作BD⊥y轴于D，过A点作AE⊥y轴于点E，通过全等三角形的知识得出B点的坐标，再验证其是否在抛物线上．
【解答】解：（1）令x＝0，则y2＝kx+3＝0+3＝3，
∴C（0，3），
把C（0，3）代入y1＝中，得
3＝3m，
∴m＝1，
∴二次函数的解析式为：y1＝；
（2）由函数图象可知，当两函数图象位于A与C两点之间时，一次函数值大于二次函数值，
∴当﹣2＜x＜0时，一次函数值大于二次函数值；
（3）当x＝﹣2时，y1＝5﹣9+3＝﹣1，
∴A（﹣2，﹣1），
过B点作BD⊥y轴于D，过A点作AE⊥y轴于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝90°，
∵∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△ACE和△CDB中，
，
∴△ACE≌△CDB（AAS），
∴BD＝CE＝3﹣（﹣1）＝4，CD＝AE＝2，
∴OD＝3+2＝5，
∴B（﹣4，5），
当x＝﹣4时，y1═20﹣18+3＝5，
∴点B在二次函数的图象上．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，函数图象上点的坐标特点，熟悉这些知识是解题的关键，（3）小题关键是构造全等三角形求出点B的坐标．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x
…
－3
－eq \f(5,2)
－2
－1
0
1
2
eq \f(5,2)
3
y
…
3
eq \f(5,4)
m
－1
0
－1
0
eq \f(5,4)
3
x
…
－3
－eq \f(5,2)
－2
－1
0
1
2
eq \f(5,2)
3
y
…
3
eq \f(5,4)
m
－1
0
－1
0
eq \f(5,4)
3