专题03 二次函数与角度（举一反三专项训练）数学苏科版九年级下册+答案

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专题03 二次函数与角度（举一反三专项训练） 【苏科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc16333" 【题型1 二次函数与特殊角】  PAGEREF _Toc16333 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc19026" 【题型2 二次函数与等角】  PAGEREF _Toc19026 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc29415" 【题型3 二次函数与二倍角】  PAGEREF _Toc29415 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc19178" 【题型4 二次函数与角度和差倍分】  PAGEREF _Toc19178 \h 45  HYPERLINK \l "_Toc3853" 【题型5 二次函数与角度之间关系】  PAGEREF _Toc3853 \h 59  知识点1 特殊角与等角 类型一 特殊角 类型二 等角⟶平行 类型三 等角⟶全等 知识点2 二倍角（一题多法） 类型一 二倍角⟶加倍 类型二 二倍角⟶减半 类型三 二倍角⟶减半 【题型1 二次函数与特殊角】 【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数y=x2−2tx−t−3． (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； (2)当0≤x≤3时，y的最小值为−5，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点B5,0，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得∠APC=45°，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)顶点坐标为t,−t2−t−3 (2)t的值为1 (3)存在点P坐标为2,−2+13或2,−2−13时，∠APC为45° 【分析】（1）将y=x2−2tx−t−3化为顶点式即可解答． （2）根据抛物线y=x2−2tx−t−3得对称轴为x=t．分为若t3，当x=3时函数取最小值，列方程求出t即可； （3）由题意得：抛物线解析式为：y=x2−4x−5=(x−2)2−9，则抛物线图象的对称轴为x=2，C0,−5，根据题意，设P2,p，求出直线CP的解析式为y=p+52x−5，过点A作AQ⊥AP交CP于点Q，分别过点P，Q作x轴的垂线，垂足分别为E，F，分为当点P在x轴上方时，和当点P在x轴下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：y=x2−2tx−t−3=x−t2−t2−t−3， 则该二次函数的顶点坐标为t,−t2−t−3． （2）解：抛物线y=x2−2tx−t−3对称轴为x=t． 若t3，当x=3时函数取最小值， ∴9−6t−t−3=−5，解得：t=117（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为1． （3）解：存在点P坐标为2,−2+13或2,−2−13时，∠APC为45°， 理由如下： 由题意得：0=52−2t·5−t−3，解得：t=2， 故抛物线解析式为：y=x2−4x−5=(x−2)2−9， 则抛物线图象的对称轴为x=2，C0,−5,A−1,0， 根据题意，设P2,p，直线CP的解析式为y=kx+bk≠0， 将C0,−5，P2,p代入y=kx+bk≠0， 则−5=bp=2k+b， 解得k=p+52b=−5， ∴直线CP的解析式为y=p+52x−5， 过点A作AQ⊥AP交CP于点Q，分别过点P，Q作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 当点P在x轴上方时，如图， ∵∠APQ=45°，∠PAQ=90°， ∴∠AQP=45°， ∴△AQP是等腰直角三角形， ∴AP=AQ， ∵∠PAE+∠QAE=∠PAE+∠APE=90°， ∴∠QAE=∠APE， ∵∠AEP=∠AFQ=90°， ∴△APE≌△QAFAAS， ∴PE=AF，AE=QF， ∵AE=OA+OE=1+2=3，PE=p， ∴AF=p，QF=3， ∴OF=AF−OA=p−1， ∴Qp−1,−3， 将Qp−1,−3代入y=p+52x−5，则−3=p+52p−1−5， 解得：p=−2+13或p=−2−13（舍去）； 当点P在x轴下方时，如图， 同理△APE≌△QAFAAS， ∴PE=AF，AE=QF， ∵AE=OA+OE=1+2=3，PE=−p， ∴AF=−p，QF=3， ∴OF=AF+OA=−p+1， ∴Qp−1,−3， 将Qp−1,−3， 代入y=b+52x−5则−3=p+52p−1−5， 解得：p=−2+13（舍去）或p=−2−13； 综上，当点P坐标为2,−2+13或2,−2−13时，∠APC为45°． 【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点P−52,76的抛物线y=−23x2+bx+2．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点Q是抛物线对称轴上一点，当△BCQ的周长取得最小值时，求点Q的坐标及△BCQ的周长． (3)当Mm,0，N0,n两点满足：−520， ∴b2−4ac=25−4×2×73n>0， 解得：n0， ∴n的取值范围为0