数学九年级下册二次函数的图象和性质导学案

这是一份数学九年级下册二次函数的图象和性质导学案，文件包含专题53二次函数的图像和性质二举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题53二次函数的图像和性质二举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共52页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc17639" 【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】 PAGEREF _Tc17639 \h 3
\l "_Tc17108" 【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】 PAGEREF _Tc17108 \h 5
\l "_Tc14799" 【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】 PAGEREF _Tc14799 \h 5
\l "_Tc3400" 【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】 PAGEREF _Tc3400 \h 7
\l "_Tc2455" 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 PAGEREF _Tc2455 \h 8
\l "_Tc4266" 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 PAGEREF _Tc4266 \h 9
\l "_Tc9950" 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 PAGEREF _Tc9950 \h 11
\l "_Tc17323" 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 PAGEREF _Tc17323 \h 12
知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h)2+k，其中h=−b2a，k=4ac−b24a，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=−b2a，顶点坐标为−b2a，4ac−b24a．
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系
知识点2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ℎ，k）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为y=a(x−h)2+k(a≠0)，特殊地，若抛物线顶点在原点，则ℎ=k=0，设其解析式为y=ax2(a≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），可设解析式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx−c；
y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ)2−k．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=ax2−bx+c；
y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=a(x+ℎ)2+k．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c−b22a；
y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ)2+k．
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=−14x2+2x+c，顶点为P，且AD=2，则点C的坐标为 ．

【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象过点A0,3，B2,3，C−1,0．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为1,4；
②当x≤1时，y随x增大而减小；
③当0