初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数与一元二次方程学案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数与一元二次方程学案设计，共70页。学案主要包含了变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
专题 21.4
二次函数与一元二次方程（举一反三讲义） 【沪科版】
【题型 1 抛物线与 x 轴的交点】
【题型 2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【题型 3 求 x 轴与抛物线的截线长】
【题型 4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【题型 5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【题型 6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【题型 7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【题型 8 抛物线与 x 轴交点上的四点问题】
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0 时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对 应二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标．
（1）若抛物线y=ax2 +bx+c（a ≠ 0）与 x 轴两交点的横坐标分别为x1 ，x2 ，则x1 ，x2 为一元 二次方程ax2 +bx+c=0（a ≠ 0）的两个根．
（2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
a > 0 （示意图）
a < 0 （示意图）
一元二次方程根的情况
b2 - 4ac > 0
有两个不相等的实数根
b2 - 4ac = 0
有两个相等的实数根
知识点 2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数 y=ax2 +bx+c（a ≠ 0）的图象；
（2）确定二次函数 y=ax2 +bx+c（a ≠ 0）的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y 值 正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，
看y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有个近似根， 比如 x 由x1 取到x2 时，对应y 的值出现y1 >0 ，y2 y2 ，则说明x2 是近似根；反之，则说明x1 是近 似根．从图象上观察，（x ，y ）离 x 轴越近，y 值越接近 0，而y=0 时 x 的值就是方程的确 切根．
知识点 3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤：
（1）将一元二次不等式化为ax2 +bx+c>0（或0）为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
b2 - 4ac < 0
无实数根
Δ = b2 - 4ac
Δ > 0
Δ=0
Δ < 0
【题型 1 抛物线与 x 轴的交点】
【例 1】（24-25 九年级下·全国·期中）
1 ．已知二次函数y = ax2 - 4ax + 4a + 4 （a 为常数且a ≠ 0 ）．
(1)当函数图象经过(4, 0) ，求该二次函数的表达式．
(2)若a > 0 ，判断该二次函数图象与 x 轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点A(x1, y1 ) , B (x2, y2 ) ，其中x1 < x2 ，若a < 0 ，x1 + x2 > 4 ．求证：y1 > y2 ． 【变式 1-1】（24-25 九年级下·全国·期中）
2 ．若抛物线y = x2 - 6x + a 与 x 轴只有一个公共点，则 a 的值为 ． 【变式 1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）
3 ．已知二次函数y = x2 + 2mx + m2 - 2m - 3(m 为常数) 的图象与x 轴有交点，当x > 2 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )
C ．m < 2 D ．m ≥ -2
【变式 1-3】（24-25 八年级下·安徽阜阳·期末）
4 ．二次函数y = ax2 - (a + 1)x - 2a -1 （a 为常数，a > 0 ）．
(1)若该二次函数图象关于直线x =1 对称，求 a 的值；
(2)若该二次函数图象上点M (1, y1 ) ，N(2, y2 ) 满足y1 < y2 ，求 a 的范围；
(3)若该二次函数图象上两个不同的点M (x1, y1 ) ，N(x2, y2 ) 满足x1 + x2 = -2 ，求 y1 + y2 的取值
二次函数 y=ax2 +bx+c （a>0）的图像
一元二次方程 ax2 +bx+c=0 （a>0）的根
x1 ，x2
没有实数根
不等式 ax2 +bx+c>0 （a>0）的解集
xx2
x ≠ x1 的一切实数
全体实数
不等式 ax2 +bx+c0）的解集
x1 y2 ；⑤函数y 的最大值大于
. 其中正确结论的个数为( )
A ．5 个 B ．4 个 C ．3 个 D ．2 个 【变式 2-1】（24-25 八年级下·福建福州·期末）
6 ．已知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0的一个根是x =3 ，且二次函数 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线x =1 ，则此方程 ax2 + bx + c = 0的另一个根为 ．
【变式 2-2】
7．如图，抛物线y = ax2 与直线y = bx + c 的两个交点坐标分别为A(-2, 4)，B (1,1)，则关于x 的方程ax2 - bx - c = 0 的解为 ．
【变式 2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）
8 ．若二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 与 x 轴交于(-1, 0) 和(3, 0) ，关于 x 的一元二次方程
cx2 + bx + a = 0(c ≠ 0) 的两个根分别是m 和n ，则 ．
m n
【题型 3 求 x 轴与抛物线的截线长】
【例 3】（2025·浙江·二模）
9 ．在平面直角坐标系中，已知抛物线y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ．
(1)当a = c 时，
①求抛物线的顶点坐标．
@将抛物线向下平移m 个单位(m > 0)，若平移后的抛物线过点 (0, -8)，且与x 轴两交点之 间的距离为 6，求 m 的值．
(2)已知点M(2, 2n +1) ，N (-1, 3n + 2) 在抛物线上，且c < 0 ，求 n 的取值范围． 【变式 3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）
10 ．设二次函数 y1 = (x - x1 )(x - x2 )(x1 ≠ x2 ) 的图像与一次函数 y2 = 6x + 2 的图像交于点
(x1 , 0) ，若函数
y = y1 + y2
的图像与
x 轴仅有一个交点，则
x1 - x2
的值是( )
A ．6 B ．8 C ． D ．7
【变式 3-2】（24-25 九年级上·湖北咸宁·期末）
11 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - (a -1)x + a - 2 = 0 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y = x2 - (a -1)x + a - 2 与x 轴交于点A ，B ，且 AB = 2 ，求a 的值．
【变式 3-3】（2025·安徽合肥·一模）
12 ．已知P(x1, y1 ) ，Q (x2, y2 ) 是抛物线 上的两个不同点．
(1)若P ，Q 两点都在直线上，求线段PQ 的长；
(2)若抛物线关于y 轴对称，直线PQ 过坐标原点O ，求 的值；
(3)若点P ，Q 在抛物线对称轴的左侧， x1 ，x2 为整数，且x1 < x2 ，证明：x1 - x2 + y1 - y2 为 正值．
【题型 4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例 4】（2025·广西崇左·三模）
13 ．如图是二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象，图象上有两点分别为A(2.68, 0.54)， B (2.18, -0.56) ，则关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0的一个根可能是( )
A ．2.18 B ．2.68 C ．-0.56 D ．2.45 【变式 4-1】（24-25 九年级上·福建厦门·期中）
14 ．如表中列出了二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的一些对应值，则一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的解x 的范围是 ．（两相邻整数之间）
【变式 4-2】（24-25 九年级上·河南周口·期中）
15 ．小明用GGB 探索方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0, a 、b 、c 为常数）的根，作出如图所示的
图象，并求得一个近似根x = -3.4 ，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为( )
A ．2.4 B ．2.6 C ．1.4 D ．1.6
【变式 4-3】
16 ．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完 成．如，求方程 x2 -2x -2 ＝0 的实数根的近似解，观察函数y＝x2 -2x -2 的图象，发现， 当自变量为 2 时，函数值小于 0（点（2 ， -2）在 x 轴下方），当自变量为 3 时，函数值大 于 0（点（3 ，1）在 x 轴上方）．因为抛物线y＝x2 -2x -2 是一条连续不断的曲线，所以抛
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
1
2
1
-2
-7
…
物线y＝x2 -2x -2 在2＜x＜3这一段经过 x 轴，也就是说，当 x 取 2 、3 之间的某个值时，
函数值为 0，即方程 x2 -2x -2 ＝0 在 2 、3 之间有根．进一步，我们取 2 和 3 的平均数 2.5， 计算可知，对应的数值为 -0.75，与自变量为 3 的函数值异号，所以这个根在 2.5 与 3 之间 任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于 3 -2.5 ＝0.5 ．重复以上操作，
随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程 x2 -2x -2 ＝0 的 小于 0 的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过 0.3，该近似解为
【题型 5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】
【例 5】（24-25 九年级上·重庆·期末）
17 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则不等式ax2 + bx + c ≤ 3 的解集 是 ．
【变式 5-1】（24-25 九年级上·河南开封·期末）
18．二次函数y = x2 - x - 2 的图象如图所示，则函数值y > 0 时，自变量 x 的取值范围是( )
A ．x < -1 B ．x > 2 C ．-1< x < 2 D ．x < -1或x > 2 【变式 5-2】（24-25 九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）
19 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根；
(2)直接写出y 随 x 的增大而减小时自变量 x 的取值范围；
(3)直接写出关于 x 的不等式ax2 + bx + c < 0 的解集． 【变式 5-3】（2025·广东清远·一模）
20 ．抛物线y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 如图所示，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，顶点坐标为
(1，m) ，下列结论： ① ac < 0 ；②8a + 4b = 0 ；③对于任意实数 n ，都有 an2 + bn + c ≥ m ；
④当-1 < x < 3 时，y > 0 ．其中正确的个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【题型 6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【例 6】（2025·安徽安庆·模拟预测）
21 ．抛物线y1 = x2 +mx+n 的顶点纵坐标与抛物线y2 = -x2 - mx 的顶点纵坐标之和为 4．
(1)求n 的值；
(2)已知A(s, t ) 为抛物线y1 = x2 +mx+n 上一点，B (p, q ) 为抛物线y2 = -x2 - mx 上一点．
（i）若仅存在一个正数s ，使得s + t = 0 ，求p + q 的最大值；
（ii）若 p = s + 2 ，且当 1 < s < 2 时，总有t + q < 4 ，求 m 的取值范围． 【变式 6-1】（2025·福建宁德·二模）
22 ．已知二次函数y = ax2 - 6ax + c ，当1 < x < 2 时，函数值y > 0 ；当x > 5 时，y < 0 ．若点 (t, m) ，(t + 2, n)都在函数y = ax2 - 6ax + c 上，且m > n > 5a ，则 t 的取值范围是 ．
【变式 6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）
23．已知二次函数y = ax2 - bx(a ≠ 0) ，经过点P(m, 2) ．当y > -1 时，x 的取值范围为x < t -1 或x > -3- t ．则如下四个值中有可能为 m 的是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【变式 6-3】（2025·安徽合肥·二模）
24 ．在平面直角坐标系xOy 中，直线y = 2x 与抛物线y = ax2 + bx - 4 交于点A(x1, y1 ) 、 B (x2, y2 ) ，且x1 < x2 ，点 P 是该抛物线上位于A ，B 两点之间的动点．
(1)当x1 = -1 ，x2 = 2 时，求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，当 △PAB 面积最大时，求点P 的坐标；
(3)设抛物线顶点的横坐标为h ，当x1 = m ，x2 = n 且 时，求证：h ≥ . 【题型 7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【例 7】（24-25 九年级上·北京密云·期末）
25 ．已知抛物线y = x2 + bx + c 经过两点A(2, -3) ，B (4, 5) ．
(1)求 b ，c 值；
(2)当1 ≤ x ≤ 4 时，函数y= x + n 的函数值总大于函数y = x2 + bx + c 的函数值，且函数
y = -7x + n 的函数值总小于函数y = x2 + bx + c 的函数值，直接写出满足题意的n 的取值范围． 【变式 7-1】（24-25 九年级下·广东广州·期中）
26 ．一次函数y1 = mx + n (m ≠ 0) 与二次函数y2 = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则不等 式ax2 + (b - m)x + c > n 的解集为( )
A ．x < 3 B ．x > -4 C ．-4 < x < 3 D ．x > 3 或x 0) 关于直线x = 2 的“和睦函数”为C2 ，
将函数C1 与C2 的图象组成的图形记为T ，若T 与线段MN 只有 2 个公共点，则a 的取值范围
是 ．
【题型 8 抛物线与 x 轴交点上的四点问题】
【例 8】（24-25 九年级上·湖北武汉·期中）
29 ．已知抛物线y = (x - x1 )(x - x2 ) - 3(x1 < x2 ) ，抛物线与 x 轴交于(m,0) ，(n, 0) 两点(m q - p
C ．m + n = p + q ，n - m < q - p D ．m + n = p + q ，n - m > q - p 【变式 8-3】（24-25 九年级上·安徽合肥·期中）
32 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -x2 - 2x + n 与x 轴交于 A 、B 两点，抛物线
y = -x2 + 2x + n 与x 轴交于 C、D 两点，其中n > 0 ．若AD = 3BC ，则 n 的值为 ．
1 ．(1) y = -x2 + 4x
(2)该二次函数图象与 x 轴无交点，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次 函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令 ax2 - 4ax + 4a + 4 = 0 ，可得 Δ = (-4a )2 - 4a (4a + 4) = -16a < 0 ，则方程 ax2 - 4ax + 4a + 4 = 0 无实数解，即该二次函数图象与 x 轴无交点．
（3）由题意得y1 = ax12 - 4ax1 + 4a + 4 ，y2 = ax22 - 4ax2 + 4a + 4 ，则可得y1 - y2 > 0 ，即可得
y1 > y2 ．
【详解】（1）解：将(4, 0) 代入y = ax2 - 4ax + 4a + 4 ， 得16a -16a + 4a + 4 = 0 ，
解得a = -1 ，
:该二次函数的表达式为y = -x2 + 4x ．
（2）解：该二次函数图象与 x 轴无交点．
证明：令ax2 - 4ax + 4a + 4 = 0 ， : a > 0 ，
: Δ = (-4a )2 - 4a (4a + 4) = 16a2 -16a2 -16a = -16a < 0 ，
:方程ax2 - 4ax + 4a + 4 = 0 无实数解， :该二次函数图象与 x 轴无交点．
（3）证明：:该函数图象上有两点A(x1, y1 ) , B (x2, y2 ) ， : y1 = ax12 - 4ax1 + 4a + 4 ，y2 = ax22 - 4ax2 + 4a + 4 ，，
: y1 - y2 = a (x12 - x22 )- 4a(x1 - x2 ) = a (x1 + x2 )(x1 - x2 ) - 4a (x1 - x2 ) = a (x1 + x2 - 4)(x1 - x2 ) ， : x1 < x2，x1 + x2 > 4 ，
: x1 - x2 < 0，x1 + x2 - 4 > 0 ， : a < 0 ，
: a (x1 + x2 - 4)(x1 - x2 ) > 0 ， : y1 - y2 > 0 ，
即y1 > y2 ．
2 ．9
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次 函数与一元二次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于x 的方程0 = x2 - 6x + a 有两个相等的实数根， :Δ = 36 - 4a = 0 ，
解得：a = 9 ，
故答案为：9．
3 ．A
【分析】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，明确抛物线与 x 轴的交点个数与判别式的关系及 二次函数的性质是解题的关键．
根据图象与 x 轴有交点，得出判别式 Δ ≥ 0 ，从而解得 ，然后求出抛物线的对称轴， 结合抛物线开口向上，且当x > 2 时，y 随 x 的增大而增大，可得m ≥ -2 ，从而得出选项．
【详解】解：:二次函数y = x2 + 2mx + m2 - 2m - 3 （ m 为常数）的图象与 x 轴有交点， :Δ = (2m)2 - 4× 1 × (m2 - 2m - 3) ≥ 0 ，
解得： ，
:抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大， :-m ≤ 2 ，
: m ≥ -2
:m 的取值范围是 ， 故选：A．
4 ．(1) a = 1；
(3) y1 + y2 ≥ 0 ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式， 二次函数图象的性质，掌握对称轴公式 以及函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线 x =1 即可求出a = 1；
（2）将点M (1, y1 ) ，N(2, y2 ) 代入二次函数解析式，表示出y1 - y2 ，根据 y1 < y2 ，即可求解；
（3）将点M (x1, y1 ) ，N(x2, y2 ) 代入二次函数解析式，结合x1 + x2 = -2 ，表示出y1 + y2 求解即 可．
【详解】（1）解：二次函数 y = ax2 - (a +1)x - 2a - 1 的对称轴为直线x = - - (a +1) = a +1 ， 2a 2a
解得：a = 1；
（2）解：:点M (1, y1 ) ，N(2, y2 ) 在二次函数图象上， : y1 = a - (a + 1) - 2a -1 = -2a - 2 ，
y2 = 4a - 2(a + 1) - 2a -1 = -3 ，
: y1 - y2 = -2a - 2 - (-3) = -2a +1 ， : y1 < y2 ，
: y1 - y2 = -2a +1< 0 ，
解得： ；
（3）解：点M (x1, y1 ) ，N(x2, y2 ) 在二次函数图象上，
: y1 = ax12 - (a + 1)x1 - 2a -1 ，y2 = ax22 - (a + 1)x2 - 2a -1 ，
: x1 + x2 = -2 ， : x2 = -2 - x1 ，
代入y2 = ax22 - (a + 1)x2 - 2a -1 得y2 = a (-2 - x1 )2 - (a + 1) (-2 - x1 ) - 2a -1
= ax12 + (5a + 1)x1 + 4a +1，
: y1 + y2 = ax12 - (a + 1)x1 - 2a -1+ ax12 + (5a + 1)x1 + 4a +1
= 2ax12 + 4ax1 + 2a
= 2a (x12 + 2x1 +1)
= 2a (x1 +1)2 ，
∵ a > 0 ，(x1 +1)2 ≥ 0 ，
: y1 + y2 = 2a (x1 +1)2 ≥ 0 ．
5 ．B
【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象 上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决 问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②,根据二次函数与一元二次方 程的关系来判断结论③,根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可．
【详解】解：Q抛物线的对称轴为直线x = 1 ，
:b = -2a ，即 2a + b = 1 ，故①正确；
Q抛物线y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为直线x =1 ，与 x 轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，
:抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标在-1和0 之间，
:方程ax2 + bx + c = 0 一定有一个根在-1和 0 之间，故②错误； ∵抛物线y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 图象与y 轴交点的纵坐标是 2，
: c = 2 ，
: ax2 - 2ax + 2 - a = 0 ，
:Δ = (-2a )2 - 4a × (2 - a ) = 8a2 - 8a = 8a (a -1) ， 令 Δ = 0 ，得8a2 - 8a = 8a (a -1) = 0 ，
:a = 0 或a = 1，
Qa < 0 ，
: Δ > 0 ，
:方程ax2 + bx + c - a = 0 一定有两个不相等的实数根，故③正确； Q抛物线的开口向下，
:抛物线上的点距离对称轴越远y 值越小，距离对称轴越近y 值越大，
Qx1 + x2 > 2 ，
:x1 > 2 - x2 ，
:-x1 < -2 + x2 ，
:1- x1 < -2 + x2 +1，
:1- x1 < x2 -1 ，
QA 点到对称轴的距离是1- x1 ，B 点到对称轴的距离是x2 -1 ， : y1 > y2 ，故④正确；
如图，当x =3 时，y < 0 ，
:9a - 6a + 2 < 0 ，
当x = 1 时，y最大
: 函数y 的最大值大于 ，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有：①③④⑤,共 4 个， 故选：B．
6 ．x = -1
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．
根据抛物线的对称性，可知y = ax2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点关于直线x =1 对称，两 交点的横坐标即为方程ax2 + bx + c = 0的两根，根据对称性建立关系式即可求解．
【详解】解：设方程 ax2 + bx + c = 0的另一根为x2 ，
:二次函数y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线x = 1 ， 即 ，
解得，x = -1 ，
:另一根为x = -1 ，
故答案为：x = -1 ．
7 ．x1 = -2 ，x2 = 1
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函 数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于 x 的方程ax2 - bx - c = 0 的解，就是抛物线y = ax2 与直线
y = bx + c 的两个交点坐标分别为A(-2, 4) ，B (1,1) 的横坐标， 即x1 = -2 ，x2 = 1．
故答案为：x1 = -2 ，x2 = 1．
【分析】本题考查二次函数的性质， 一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质
求得 得到b = -2a ，c = -3a ，则方程可转化为 3x2 + 2x -1 = 0 ，根据根与系数的关系 m + n = - ， 再将 整理得到
代入数据计算即可求解．
【详解】解：二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 与 x 轴交于(-1, 0) 和(3, 0) ，
: b = -2a ，c = -3a ，
:一元二次方程cx2 + bx + a = 0(c ≠ 0) 为-3ax2 - 2ax + a = 0 ， 即3x2 + 2x -1 = 0 ，
:关于 x 的一元二次方程cx2 + bx + a = 0(c ≠0) 的两个根分别是m 和n ，
故答案为：- ．
9 ．(1)① (1, 0) ；② m = 9 ，
(2)-1< n < -
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系， 熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键．
（1）①把a = c 代入y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ，得 y = a (x -1)2 ，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为y= a (x -1)2 - m ，把(0, -8) 代入，求得a = m - 8 ， 则y = (m - 8)x2 - 2(m - 8)x - 8 ，设平移后的抛物线与x 轴两交点横坐标为 x1 ，x2 ，则
又 x1 - x2 = 6 ，即可得出 解之即可求解．
（2）把M(2, 2n +1) ，代入y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ，得c = 2n +1 ，根据c < 0 ，求得n < - ； 把N(-1, 3n + 2) 代入y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ，得 c = 3n - 3a + 2 ，根据 c = 2n +1 和a > 0 ，求
得n > -1 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：①: y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ，a = c : y = ax2 - 2ax + a = a (x -1)2
:抛物线的顶点坐标为(1, 0) ，
②:将抛物线向下平移m 个单位(m > 0) ， :平移后抛物线解析式为y = a (x -1)2 - m ， 把(0, -8) 代入，得a (0 -1)2 - m = -8 ，
: a = m - 8
: y = (m - 8)(x -1)2 - m = (m - 8)x2 - 2(m - 8)x - 8 设平移后的抛物线与x 轴两交点横坐标为 x1 ，x2 ，
: x12 + 2x1x2 + x22 = 4
:平移后的抛物线与x 轴两交点之间的距离为 6， : x1 - x2 = 6
: x12 - 2x1x2 + x22 = 36
解得：m = 9
经检验，m = 9 是分式方程的解，且符合题意， : m = 9 ．
（2）解：把M(2, 2n +1) ，代入 y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ，得
c = 2n +1， : c < 0 ，
: 2n +1 < 0 ，
把N(-1, 3n + 2) 代入y = ax2 - 2ax + c (a > 0) ，得
3a + c = 3n + 2 ， : c = 3n - 3a + 2 ， : c = 2n +1，
: n > -1 ，
10 ．A
【分析】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要 熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y = y1 + y2 与x 轴的交点为(x1 ，0) ．
首先根据一次函数y2 = 6x + 2 的图像交于点 (x1 , 0) ，可得x1 = - ，然后根据函数y = y1 + y2
的图象与x 轴仅有一个交点，可得函数y = y1 + y2 与x 轴的交点为(x1 , 0)，进而可得
再结合 求解即可．
【详解】解：Q 一次函数y2 = 6x + 2 的图象经过点(x1 , 0)，
: 6x1 + 2 = 0 ，解得 Q 当x = x1 时，y1 = 0 ，y2 = 0 ，
: 当x = x1 时，y = y1 + y2 = 0 ，
∵函数 y = y1 + y2 的图像与 x 轴仅有一个交点， :y = y1 + y2 的图象与x 轴的交点为 ，
解得：
故选：A．
11 ．(1)见解析
(2) a = 1 或5
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次 方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法 是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令 y = 0 ，得：x2 - (a -1)x + a - 2 = 0 ，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法 得出(x1 - x2 )2 关于a 的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出
AB = x1 - x2 = 2 ，即可得出关于a 的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ Δ = (a -1)2 - 4(a - 2)
= a2 - 6a + 9
= (a - 3)2 ≥ 0 ，
: 该方程总有两个实数根；
（2）解：令 y = 0 ，得：x2 - (a -1)x + a - 2 = 0 ， : x1 + x2 = a -1 ，x1x2 = a - 2 ，
: (x1 - x2 )2 = x12 + x22 - 2x1x2 = (x1 + x2 )2 - 4x1x2 = (a -1)2 - 4(a - 2)， ∵抛物线y = x2 - (a -1)x + a - 2 与x 轴交于点A ，B ，且 AB = 2 ， : x1 - x2 = 2 ，
: (x1 - x2 )2 = (a -1)2 - 4(a - 2) = 4 ， 化简为：a2 - 6a + 5 = 0 ，
解得：a = 1 或5 ．
12 ．(1)1
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得到直线PQ 平行于x 轴，令 求出 然
后代入 x1 - x2
求解即可；
（2）首先求出 b = 0 ，然后分两种情况：当直线PQ 落在x 轴上时，可得
当直线PQ 不在x 轴上，然后联立 求出 设x2 > x1 ，求出x1x2 ，x2 - x1 ， 然后代入 求解即可；
（3）首先得到x1 - x2 + y1 - y2 = (x1 - x2 )(x1 + x2 + b +1) ，根据 x1 < x2 < - 求出x1 < - -1， 然后结合x1 - x2 < 0 即可证明．
【详解】（1）解：∵直线PQ 平行于x 轴，
:令 即 解得
:线段PQ 的长度为
（2）解：∵抛物线y = x2 + bx - 关于y 轴对称， : b = 0
:抛物线
若直线PQ 落在x 轴上，
:当y = 0 时，即 解得
若直线PQ 不在x 轴上，
设直线PQ 的解析式为y = kx ，联立方程， 得
解得 不妨设x2 > x1 ，
: OP + OQ = + = çèç x1 + x2 ,÷ = çè 1x2 2 ,÷ = 4 ．
1 1 1 1 1 ( 1 1 ö 1 ( x - x ö
（3）证明：x1 - x2 + y1 - y2 = x1 - x2 + x1 2- x2 2+ b(x1 - x2 ) = (x1 - x2 )(x1 + x2 + b +1)
且 x1 ，x2 为整数， : x1 ≤ x2 -1< - -1，即 x1 < - -1
又x1 - x2 < 0 ，
: x1 - x2 + y1 - y2 为正值．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质， 二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题 的关键是掌握二次函数的图象和性质．
13 ．D
【分析】本题考查了抛物线和 x 轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得y = 0 的点对应的横坐标在2.18 和2.68 之间，进而求解．
【详解】解：从函数图象看，y = 0 的点对应的横坐标在2.18 和2.68 之间，
而在2.18 和2.68 之间被选项中的数为2.45 ， : ax2 + bx + c = 0的方程的一个根可能为2.45 ．
故选：D．
14 ．-4 < x < -3 或-1 < x < 0
【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此 解答即可．
【详解】解：: x = -1, y = 1 > 0 ，x = 0, y = -2 < 0 ，
:根据函数的连续性可得在-1 ~ 0 之间，存在一个数，使得y = 0 ， : x = -3 和x = -1 的函数值相等，
:对称轴为
:根据对称性可得：在-4 ~ -3 之间，也存在一个数，使得y = 0 ，
:一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的解x 的范围是-4 < x < -3 或-1 < x < 0 ， 故答案为：-4 < x < -3 或-1 < x < 0 ．
15 ．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与x 轴的另 一个交点坐标为(1.4,0) ，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：:抛物线与x 轴的一个交点为(-3.4,0) ，对称轴为直线 x = -1 ， :抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1.4,0) ，
:方程的另一个近似根为1.4 ， 故选：C ．
16 ． -0.75
【分析】观察函数 y ＝x2—2x—2 的图象，发现，当自变量为 0 时，函数值小于 0，当自变量 为—1 时，函数值大于 0，求得—1和 0 的平均数—0.5，对应的数值为—0.75，与自变量为—1 的 函数值异号，再求—1和—0.5 的平均数—0.75，对应的数值为 0.0625，即可求得这个根在—0.75 与—0.5 之间任意一个数作为近似解，由—0.5—（—0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【详解】解： 观察函数y＝x2 -2x -2 的图象，发现，当自变量为 0 时，函数值小于 0，当自 变量为 -1 时，函数值大于 0，因为抛物线y＝x2 -2x -2 是一条连续不断的曲线，所以抛物 线y＝x2 -2x -2 在 -1＜x＜0 这一段经过 x 轴，也就是说，当 x 取 -1 、0 之间的某个值时， 函数值为 0，即方程 x2 -2x -2 ＝0 在 -1 、0 之间有根．
我们取 -1 和 0 的平均数 -0.5，计算可知，对应的数值为 -0.75，与自变量为 -1 的函数值 异号，所以这个根在 -1 与 -0.5 之间，取 -1 和 -0.5 的平均数 -0.75，计算可知，对应的 数值为 0.0625，与自变量为 -0.5 的函数值异号，所以这个根在 -0.75 与 -0.5 之间任意一个 数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于 -0.5 -（ -0.75）＝0.25＜0.3，该近似解 为 -0.75，
故答案为 -0.75．
【点睛】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息 是解题的关键．
17 ．x ≤ 0 或x ≥ 2
【分析】本题考查了二次函数与不等式， 根据对称轴为直线x =1 ，可求出当y = 3 时，x = 0 或x =2 ，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解 题的关键．
【详解】解：由图象可知，二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为直线x = 1 ， 当 y = 3 时， x = 0 或 x = 2 ，
:通过图象可知：不等式ax2 + bx + c ≤ 3 的解集是x ≤ 0 或x ≥ 2 ， 故答案为：x ≤ 0 或x ≥ 2 ．
18 ．D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系 ．根据题意，当函数值y > 0 时，自变量 x 的
取值范围，就是求当函数图象在 x 轴上方时，对应的 x 取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值 y > 0 时，自变量 x 的取值范围是x < -1或x > 2 ， 故选：D．
19 ．(1) x1 = 1 ，x2 = 3
(2) x ≥ 2
(3) x < 1或x > 3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数
y = ax2 + bx + c （a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二 次方程．
【详解】（1）解：由图象看，
∵二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与 x 轴交于点(1, 0) ，(3, 0)
:方程ax2 + bx + c = 0的两个根是x1 = 1 ，x2 = 3 ；
（2）解：从图象看，
当x ≥ 2 时，y 随 x 的增大而增大；
（3）解：从图象看，
∵当x < 1或x > 3 时，二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象在 x 轴 :不等式ax2 + bx + c < 0 的解集是：x < 1或x > 3 ．
20 ．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象 与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
根据图象开口向上可知a < 0 ，与y 轴的交点在原点上方可知c > 0 ，据此可判断①；因为抛 物线与x 轴交于(- 1，0)，对称轴为直线 x =1 ，所以另一交点为(3，0) ，则9a + 3b + c = 0 、
a - b + c = 0 两式相减可得8a + 4b = 0 ，可判断②；抛物线顶点坐标为(1，m)，开口向下，则 m 为最大值，对于任意实数n ，都有an2 + bn + c ≤ m ，据此可判断③；由图象可得当-1< x < 3 时，y > 0 ，据此可判定④ .
【详解】解：∵抛物线的开口向上， : a < 0 ，
∵与y 轴的交点在原点上方可， : c > 0 ，
: ac < 0 ，即①正确；
∵抛物线与x 轴交于(- 1，0)，对称轴为直线 x = 1 ， :抛物线与 x 轴的另一交点为(3，0) ，
:当x = 3 时，9a + 3b + c = 0 ；当 x = -1 时，a - b + c = 0 ， :两式相减可得8a + 4b = 0 ，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为(- 1，0)，开口向下， : m 为最大值，
:对于任意实数n ，都有 an2 + bn + c ≤ m ，即③错误；
④由图象可得，当-1 < x < 3 时，y > 0 ，即④正确．
综上，正确的有 3 个．
故选 C．
21 ．(1) 4
(2)（i）9 ；（ii）m ≥ -4
【分析】（1）分别求出抛物线y1 = x2 +mx+n 与抛物线y2 = -x2 - mx 的顶点坐标，建立关于 n 的方程求解即可；
（2）（i）由（1）得y1 = x2 + mx + 4 ，根据题意得到-s = s2 + ms + 4， 即s2 + (m +1)s + 4 = 0 ， 由仅存在一个正数s ，使得s + t = 0 ，则关于s 的一元二次方程s2 + (m +1)s + 4 = 0 ，有两个相 等的正数根，求出m1 = 3, m2 = -5 ，m = -5 ，得到p + q = -p2 + 6p = - (p - 3)2 + 9 ，即可解答；
（ii）根据题意求出 t = s2 + ms + 4 ，
q = -s2 - s - 2m - 4 ，由t + q < 4 ，得到 求出
-2m < 4 + 4s ，即可解答．
解 :抛物线y1 = x2 +mx+n 顶点坐标为 ，抛物线 y2 = -x2 - mx 的顶点坐标为
∵抛物线y1 = x2 +mx+n 的顶点纵坐标与抛物线y2 = -x2 - mx 的顶点纵坐标之和为 4，
即n = 4 ；
（2）解：（i）由（1）知 n = 4 ， :抛物线y1 = x2 + mx + 4 ，
∵ A(s, t ) 为抛物线y1 = x2 +mx+n 上一点， : t = s2 + ms + 4 ，
∵ s + t = 0 ，即 t = -s ，
:-s = s2 + ms + 4，即s2 + (m +1)s + 4 = 0 ， ∵仅存在一个正数s ，使得s + t = 0 ，
:关于s 的一元二次方程s2 + (m +1)s + 4 = 0 ，有两个相等的正数根， : Δ = (m +1)2 - 4× 1 × 4 = 0 ，即 (m +1)2 = 16 ，
解得：m1 = 3, m2 = -5 ，
当m = 3 时，s2 + 4s + 4 = 0 ，解得：s = -2 < 0 （舍去，不符合题意）；
当m = -5 时，s2 - 4s + 4 = 0 ，解得：s = 2 > 0 （符合题意）； : m = -5 ，
: y2 = -x2 + 5x ，
∵ B (p, q ) 为抛物线y2 = -x2 - mx 上一点， : q = -p2 + 5p ，
: p + q = -p2 + 6p = - (p - 3)2 + 9 ， ∵ -1< 0 ，
:当p = 3 时，p + q 有最大值9；
（ii）∵ t = s2 + ms + 4 ，p = s + 2 ，且B(p, q ) 为抛物线y2 = -x2 - mx 上， : q = - (s + 2)2 - m (s + 2) = -s2 - (4 + m)s - 2m - 4 ，
∵ t + q < 4 ，
: s2 + ms + 4 + -s2 - (4 + m)s - 2m - 4 < 4 ， :-2m < 4 + 4s ，
∵ 1 < s < 2 ，
:8 < 4 + 4s < 12 ， :-2m ≤ 8 ，
: m ≥ -4 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质， 二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不 等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22 ．2 < t < 4
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质 ．根据题意得到二次函数的对称轴为直线 x = 3 ，再由当1 < x < 2 时，函数值y > 0 ；当 x > 5 时，y < 0 ，可得 a < 0 ，且抛物线与 x 轴 的交点的横坐标为 5 和 1，然后分两种情况：若点(t, m) ，(t + 2, n)均在对称轴的右侧，若点 (t, m) ，(t + 2, n)均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线
:横坐标为 5 关于对称轴的对称点的横坐标为 1，
∵当1 < x < 2 时，函数值y > 0 ；当 x > 5 时，y < 0 ， : a < 0 ，且抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 5 和 1，
:当x < 3 时，y 随 x 的增大而增大，当x ≥ 3 时，y 随 x 的增大而减小，
若点(t, m) ，(t + 2, n)均在对称轴的右侧， 此时t ≥ 3 ，
∵抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 5 和 1， :当x = 1 时，y = 0 ，
: a - 6a + c = 0 ，即 c = 5a ，
:抛物线的解析式为y = ax2 - 6ax + 5a ， 当x = 0 时，y = 5a ，
:抛物线与y 轴的交点为(0, 5a ) ，
:点(0, 5a )关于对称轴的对称点为(6, 5a ) ，
: m > n > 5a ， :t + 2 < 6， 即 t < 4 ，
此时3 ≤ t < 4 ；
若点(t, m) ，(t + 2, n)均在对称轴的两侧，则
3 - t < t + 2 - 3， 即 t > 2 ；
综上所述，t 的取值范围是2 < t < 4 ． 故答案为：2 < t < 4
23 ．A
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系， 二次函数的性质，根据题意可得当 y = -1 时，x = t -1 或x = -3 - t ，且函数开口向上，即a > 0 ，则可求出对称轴为直线x = -2 ， 则可得到b= -4a ，把(m, 2) 代入解析式得到 据此求出 m 的取值范围即可 得到答案．
【详解】解：:当y > -1 时，x 的取值范围为x < t -1 或x > -3- t ， :当y = -1 时，x = t -1 或x = -3 - t ，且函数开口向上，即 a > 0 ， : (t -1, -1) ，(-3 - t, -1) 为抛物线上的点，
:抛物线对称轴为直线
: b = -4a ，
当a > 0 时，-4a ≤ -1，解得 ， 将(m, 2) 代入解析式得am2 + 4am = 2 ，
: 0 < m2 + 4m ≤ 8 ，
: 4 < (m + 2)2 ≤ 12 ，
:-2 - 2 ≤ m < -4或0 < m ≤ -2 + 2 ， : 2.25 < 3 < 4 ，
: 1.5 < < 2 ，
: 3 < 2 < 4 ，
: 1 < -2 + 2 < 2 ，
综上所述，m 的可能取值为 1， 故选：A．
24 ．(1) y = 2x2 - 4
(3)详见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质， 二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握 知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2 ）过点 P 作PQ 丄 x 轴交直线y = 2x 于点Q，设点P(t, 2t2 - 4)，则Q(t, 2t ) ，则 S△ 再通过二次函数的性质即可求解；
（3 ）将 A(m, 2m) ，B (n, 2n)代入y = ax2 + bx - 4 得2m = am2 + bm - 4① ,
2n = an2 + bn - 4② , 故有2(m - n) = a (m + n)(m - n)+ b(m - n) ，则
2 2 b 2
又n ≥ ,所以 - - m ≥ ,从而求证．
a a a a
【详解】（1）解：当 x1 = -1 时，y1 = 2 × (-1) = -2 ，x2 = 2 时，y1 = 2 × 2 = 4 ， :将A(-1, -2) ，B (2, 4) 代入y = ax2 + bx - 4 得
解得 : y = 2x2 - 4 ；
（2）解：过点 P 作PQ 丄 x 轴交直线y = 2x 于点Q ，
设点P(t, 2t2 - 4)，则Q(t, 2t ) ，
: PQ = 2t - 2t2 + 4 ， : S△PAB = S△PAQ + S△PBQ
= -3t2 + 3t + 6
:当 时，S△PAB 有最大值，
（3）解：当 x1 = m ，x2 = n ，且 m < n ，
将A(m, 2m) ，B (n, 2n)代入y = ax2 + bx - 4 得： 2m = am2 + bm - 4① , 2n = an2 + bn - 4② ,
① - ② 得：2 (m - n) = a (m + n)(m - n)+ b(m - n)， : a (m + n)+ b = 2 ，
即 ．
25 ．(1)b = -2, c = -3
(2)1< n < 3
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数交点问题；
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）依据题意，求得函数y = x + n 以及函数y = -7x + n 的图象过界点时的n 的值，可以判 断得解．
【详解】（1）解：:抛物线y = x2 + bx + c 经过两点A(2, -3) ，B (4, 5)．
（2）抛物线上，当 x =1 时，y = -4 ，当 x =4 时，y = 5 ；
函数y = x + n 的图象上，当x = 4 ，y = 5 时，n = 1 ； 函数y = -7x + n 的图象上，当x = 1 ，y = -4 时n = 3 ，
:1 ≤ x ≤ 4 时，函数y= x + n 的函数值总大于函数y = x2 + bx + c 的函数值，且函数y = -7x + n 的函数值总小于函数y = x2 + bx + c 的函数值．
:1< n < 3 ．
26 ．C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当-4 < x < 3 时，二次函 数图象位于一次函数图象的上方，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当 -4 < x < 3 时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， :不等式ax2 + bx + c > mx + n 的解集为-4 < x < 3，
即不等式ax2 + (b - m)x + c > n 的解集为-4 < x < 3． 故选：C．
27 ．B
【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与 x 轴的交点问题， 理解并灵活运用相关知识是解答的关键．先构造差函数 y = y2 - y1 = (1- a )x2 + (a - b)x + 4 ， 再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与 x 轴的交点问题求解即可．
【详解】解：设函数 y = y2 - y1 = (1- a )x2 + (a - b)x + 4 ， 要使y1 < y2 ，只需 y > 0 恒成立，
当1- a =0 即a = 1 时，函数y = (1- b)x + 4 是一次函数，显然y > 0 不恒成立，
当1- a < 0 即a > 1 时，二次函数y 的图象开口向下， : y > 0 不恒成立，故选项 C 、D 不符合题意；
:只需1- a > 0 ，且 Δ = (a - b)2 -16(1- a ) < 0 恒成立，
当-2 < a < 0 < b 时，满足1- a > 0 ，但 b 值不确定，当b 很大时， Δ 可能大于 0，故选项 A 不符合题意；
当-2 < a < b < 0 时，满足1- a > 1 ，-2 < a - b < 0 ，
: Δ = (a - b)2 -16(1- a )< 0 恒成立，故选项 B 符合题意， 故选：B．
28 ．②④##④②
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内 容，利用数形结合是解题的关键．①根据“友好函数”的定义即可求解，②
n = m2 - 4m +1 = (m - 2)2 - 3 ，再根据 m 的取值范围即可得到n 的范围，③根据题意得出
m2 - 4m ≤ 3 ，解不等式，即可求解；④当MN 过“和睦点”时，为临界点情况，当MN 过C1
的顶点时，此时T 与线段MN 只有2 个公共点，找出临界值代入求解即可． 【详解】解：① Q y = x2 - 2x = (x -1)2 -1，
:顶点(1, -1) ，它关于直线 x = -1 的对称点为(-3, -1) ，
: “和睦函数”为y = (x +3)2 -1 = x2 + 6x + 8 ， Q两个函数图象关于直线x = -1 对称，
:其交点必在直线x = -1 上，将x = -1 代入y = x2 - 2x 中，y = 1 - 2 × (-1) = 3 ， : “和睦点”坐标为(-1,3) ；故①正确；
②由题意得n = m2 - 4m +1 = (m - 2)2 - 3 ，
Q1 > 0 ，
:n 关于m 的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为(2, -3) ， : 当m = 2 时，n 有最小值-3 ，
当m = 1 时，n = -2 ，当 m = 4 时，n = 1 ， :-3 ≤ n ≤ 1；故②错误；
③依题意可得d = m2 - 4m :| d |≤ 3 ，
: m2 - 4m ≤ 3
: m2 - 4m - 3 ≤ 0 或m2 - 4m + 3 ≥ 0
解得：3 ≤ m ≤ 2 + 或2 - ≤ m ≤ 1，故③正确 ④如图，
当MN 过“和睦点”时，为临界点情况， 当x = 2 时，y = a (2 -1)2 - 4a = -3a ， 即-3a = -2 ，
解得：
则当a ≥ 时， T 与线段MN 只有2 个公共点；
当MN 过C1 的顶点时，此时T 与线段MN 只有2 个公共点， 当x = 1 时，y = a (1-1)2 - 4a = -4a ，
即-4a = -2 ，
解得：
综上，a 的取值范围为： 或 故④错误， 故答案为：@④ .
29 ．B
【分析】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设
y ¢ = (x - x1 )(x - x2 )，而y = (x - x1 )(x - x2 ) - 3 = y ¢ - 3 ，即函数y¢ 向下平移 3 个单位得到函数 y，通过画出函数大致图象即可求解．
【详解】解：设 y¢ = (x - x1 )(x - x2 )，则 x1 、x2 是函数y¢ 和 x 轴的交点的横坐标， 而y = (x - x1 )(x - x2 ) - 3 = y ¢ - 3 ，
即函数y¢ 向下平移 3 个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y 轴），
从图象看，m < x1 < x2 < n ， 故选：B．
30 ．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数y= -(x - a)(x - β) 和 y = 2 的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【详解】解：依题意，画出函 y= -(x - a)(x - β) 的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向下，与 x 轴两个交点的横坐标分别为a， β (a < β) ， 方程-x2 + bx + c - 2 = 0 的两根是抛物线y = -(x - a)(x - β) 与直线y = 2 的两个交点． 由M < N ，可知对称轴左侧交点横坐标为 M，右侧为 N．
由图象可知，a < M < N < β , 故选：C．
31 ．C
【分析】本题考查抛物线与x 轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思 想是解题的关键．因为抛物线y = -3(x - h)2 + 5 开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不 变，与x 轴的两交点距离变长解答即可．
【详解】解：Q抛物线y = -3(x - h)2 + 5 与x 轴相交于(m,0) ，(n, 0) 两点(m < n) ， :抛物线的对称轴为直线 ，
Q将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴相交于(p, 0) ，(q, 0) 两点(p < q ) ，
:抛物线的对称轴为直线 ， Q抛物线向上平移对称轴不变，
即 m + n = p + q ，
Q抛物线y = -3(x - h)2 + 5 开口向下，
:将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴两交点间距离会变长， : n - m < q - p ，
故选：C．
32 ．3
【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，根据题意用n 表示出AD2 = 9BC2 ，列出 关于n 的方程是解题的关键．先求出抛物线y = -x2 - 2x + n 与x 轴的交点，抛物线
y = -x2 + 2x + n 与x 轴的交点，然后根据AD = 3BC ，得出AD2 = 9BC2 ，列出关于n 的方程， 解方程即可．
【详解】解：把 y = 0 代入y = -x2 - 2x + n 得：-x2 - 2x + n = 0 ，
把y = 0 代入y = -x2 + 2x + n 得：-x2 + 2x + n = 0 ，
解得：
Q AD = 3BC ，
: AD2 = 9BC2 ，
: (x4 - x1 )2 = 9 (x3 - x2 )2 ，即
令 则 解得：
当 时 解得： ， Q n > 0 ，
不符合题意，舍去；
当m2 = 2 时 解得：n = 3 ，
Q3 > 0 ，
:n = 3 符合题意；
综上分析可知，n 的值为 3， 故答案为：3．