苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程学案设计

这是一份苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程学案设计，共11页。学案主要包含了教学目的，知识梳理，典例精讲等内容，欢迎下载使用。

二次函数与一元二次方程
一、教学目的
1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
2.理解抛物线与轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；
3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标.
4.经历根据二次函数的图象确定和的符号的过程，体会函数图象与关
系式之间的联系；
5.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
6.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
二、知识梳理
第一部分：

1. 根据的图象和性质填表：
函 数
图 象

开口
对称轴
顶 点
增 减 性



向上


当 时，随
的增大而减少.
当 时，随
的增大而 .





当 时，随
的增大而减少.
当 时，随
的增大而 .
2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .
3.解下列一元二次方程：
① ② ③



4.对于任何一个一元二次方程，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根；
当 =0时，方程有 实数根；
当 <0时，方程 实数根.








【合作探究】
一、探索归纳：
1.观察二次函数的图象，写出它们与轴、轴的交点坐标：
函数




图


象




交
点
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
2.对比《学前准备》第3题各方程的解，你发现什么？

3.归纳：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与
轴交点的 .
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程

与轴有 个交点

0，方程有 的
实数根是 .

与轴有 个交点
这个交点是 点

0，方程有 的
实数根是 .

与轴有 个交点

0，方程 实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是 .
练习.判断下列函数的图象与轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由.
⑴； ⑵ ⑶






第二部分：
1. 根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
图 象
与 坐 标 轴 的 交 点




与轴有 个交点 0
线段OA= ,OB= ,AB= .
与轴的交点坐标是 ，
线段OC= ；
与坐标轴共有 个交点.




与轴有 个交点 0
线段OA= ,AC= .
与轴的交点坐标是 ，
线段OC= ；
与坐标轴共有 个交点.




与轴有 个交点 0
与轴的交点坐标是 ，
线段OC= ；
与坐标轴共有 个交点.
2. 抛物线的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，y有最 值是 ；对称轴是 ，当 时，随的增大而增大.
3. 抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；
把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 .
【合作探究】
一、自主探索：
1.观察的图象，你能得到关于的哪些信息？




2.归纳：
⑴的符号由 决定：
①开口方向向 0；②开口方向向 0.
⑵的符号由 决定：
① 在轴的左侧 ；
② 在轴的右侧 ；
③ 是轴 0.
⑶的符号由 决定：
①点（0，）在轴正半轴 0；
②点（0，）在原点 0；
③点（0，）在轴负半轴 0.

⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
⑸特别的，当=1时，= ，对应的点的坐标记为： ；
当=-1时，= ，对应的点的坐标记为： .

第三部分：
画出函数的图象，根据图象回答下列问题．











【合作探究】
一、模仿学习：
1．根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，
判断方程(为常数)的一个解的范围是( )

6.17
6.18
6.19
6.20





Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，根据图象回答：
(1)当x＝ 时，y1＝y2；(2)当x满足 时，y1＞y2；(3)当x满足 时，y1＜y2．




三、典例精讲
第一部分：
例1、已知二次函数.求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.






归纳：⑴求抛物线与轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应
方程 的解；若对应方程的实数根为，则抛物线与轴
的交点坐标是 ，特别当时，这个交点就是抛物线的 .
⑵求抛物线与轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 .
这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法.
【课堂检测】
1.抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 .
2.抛物线的图象都在轴的下方，则函数值的取值范围是 .
3.抛物线与轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 .
4. 若抛物线与轴只有1个交点，求的值.


5. 求抛物线与轴的交点之间的距离.



【拓展提升】
利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线与坐标轴的交点围成的
△ABC的周长和面积.






抛物线上是否存在点D，令△ABD与△ABC面积相等，如果有，请写出D点坐标.


【课外作业】
1.判断下列函数的图象与轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由.
① ② ③





2.二次函数的图象与一元二次方程的根的关系如下：
抛物线与轴有 个公共点 0，方程有 实数根；
抛物线与轴有 个公共点 0，方程有 实数根；
抛物线与轴有 个公共点 0，方程 实数根.
3.抛物线的图象都在轴的上方，则函数值的取值范围是 .
4.若抛物线与轴只有1个交点，则= .
5.抛物线的顶点是（3，0），则它与轴有 个交点.
6.已知二次函数.
⑴求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.
⑵求抛物线与轴的交点之间的距离.







第二部分：
二次函数的图象与性质具体如下图所示







a 0、b 0
c 0、abc 0
a 0、b 0
c 0、abc 0
a 0、b 0
c 0、abc 0
a 0、b 0
c 0、abc 0
a 0、b 0
c 0、abc 0
a 0、b 0
c 0、abc 0
0
0
0
0
0
0
b2-4ac 0
b2-4ac 0
b2-4ac 0
b2-4ac 0
b2-4ac 0
b2-4ac 0
图象有最 点，当x= 函数有最 值是
图象有最 点，当x= 函数有最 值是
在对称轴的 侧，y随x的增大而
在对称轴的 侧，y随x的增大而
在对称轴的 侧，y随x的增大而
在对称轴的 侧，y随x的增大而












【典型例题】
例1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a－b+c______0，

（3）

例2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a－b+c______；
（2）

例3
、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列
4个结论中：①abc>0；②b0；④b2-4ac>0；
⑤b=2a.正确的是 （填序号）
【拓展提升】
如图抛物线与轴交与点(-3,0)、(1,0),与轴交与点（0,-3）.结合图象回答：
⑴当时，的取值范围是 ；
当时，的取值范围是 .
⑵当时，的取值范围是 ；
当时，的取值范围是 .
⑶0的解集是 ；
≤0的解集是 .
归纳观察图像的方法：
①当时观察 的函数图象；当时观察 的函数图象.
②当时观察 的函数图象；当时观察 的函数图象.
【课后作业】
1.根据图象填空，并说明理由：
⑴ 0 ； 0 ；
0 ； 0.
⑵b2-4ac 0 .
⑶ 0； 0；
⑷当时，的取值范围是 ；
当时，的取值范围是 .
2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
x
y
O
1
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a_____0，b____0，c_____0；
（2）a+b+c_____0，a－2b_____0，9a－3b+c_____0
3．已知二次函数的图象如下图所示，则下列结论：
；方程的两根之和大于0；
随的增大而增大；④，其中正确的个数（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A．＜0 B.＞0 C.＞0 D.＞0
5．已知二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0， b<0，c<0，那么这个函数图像的顶点必在（　）…
A、第一象限　B、第二象限　　C、第三象限　D、第四象限
6．若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，已知图像与x轴的一个交点为
（1,0），则下列各式中不成立的是（　　）
A、b2－4ac>0　B、abc<0 C、a+b+c=0 D、a－b+c=0
7．如图，x=1是y=ax2+bx+c的对称轴，则下列结论中正确的是（　　）
A、a+b+c>0　B、b>a+c C、abc<0 D、2a+b＝0
8．函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列式子能成立的是（　　）
A、abc>0　B、b 9．函数y=ax+m，y=a(x+m)2+k图像大致是（　　）





10．函数y=ax2和y=a(x－2)(a≠0)在同一坐标系里的图像大致是（　　）





A、 B、 C、 D、
11．若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、 四象限，则二次函数y=ax2+bx－3的大致 图像是（　　）






A、 B、 C、 D、











第三部分：

分析：先画图像，再观察图像，找出图像与x轴的公共点，最后再求出方程的根的近似值。






例2．已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若函数与轴的两个交点的横坐标为，且满足，求的值．




【课堂检测】
1．观察图像，填空：
当函数值y＞0时，x的取值范围是_________________；
-2

4

y

O

x

当函数值y＜0时，x的取值范围是_________________．
y

x

A(-2,4)

B(8,2)

O

 
 
 
 
 
 
2． 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图像相交于点A(－2，4)、B(8，2)(如图所示)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．

3． 函数y＝x2＋2x－1，当－2≤x≤2时，最大值和最小值分别是 ， ；当0≤x≤ 时，最大

4． 值和最小值分别是 ， ．

4．画出函数的图象：
(1)方程的解是什么？
(2)图象与x轴交点A．B的坐标是什么？与y轴交点C的坐标是什么？
(3)求△ABC的面积？
(4)当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？
(5)当时，y的取值范围是什么？






【课外作业】
1．根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26

－0.06
－0.02
0.03
0.09




判断方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围．
2．将抛物线y＝x2＋4x－1的图象绕原点旋转180°后，并将顶点向上平移，恰好与直线
y＝kx＋1交于点A(1，2)．
(1)求新抛物线的解析式； (2)求新抛物线与直线的另一交点B的坐标．





3．求出抛物线
(1)顶点A的坐标; (2)与x轴的交点B、C(B在C的左边)的坐标及与y轴的交点D坐标；
(3)画出函数图象的草图；(4)求此抛物线与x轴两个交点间的距离；(5)求S四边形ABDC ．









4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y＝ax2＋bx＋c当x＜0时的图象；
(3)利用抛物线y＝ax2＋bx＋c，写出x为何值时，y＞0．











课后总结