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苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程练习
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这是一份苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程练习，共25页。试卷主要包含了5，等内容，欢迎下载使用。
《5.4 二次函数与一元二次方程》同步练习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
2．已知抛物线y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：
①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
③y的最小值不大于﹣2；
④若AB＝AC，则．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
4．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a﹣b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根；
⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．①④⑤D．②③④
5．如图，已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
8．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0B．c＝1C．c＝0或c＝1D．c＝0或c＝﹣1
9．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（ ）
（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．对于抛物线y＝ax2+2ax，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二．填空题（共8小题）
11．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 ．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为 ．
14．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为 ．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
16．二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为
17．抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝ ．
18．如图，二次函数Y＝﹣x2﹣x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是 ．
三．解答题（共10小题）
19．已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；
（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．
（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？
20．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
21．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式，
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
22．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）表格中字母m＝ ；（直接写出答案）
（3）在给定的直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）以上二次函数的图象与x轴围成的封闭区域内（不包括边界），横、纵坐标都是整数的点共有 个．（直接写出结果）
23．如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2＝x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是 ．（直接写出结果）
24．如图，二次函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+3（k≠0）的图象的一个交点为A，点A的横坐标为﹣2，另一个交点C在y轴上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x取何值时，一次函数值大于二次函数值？
（3）将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点B，请判断点B是否在该二次函数的图象上．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＜0时，x的取值范围．
26．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求线段AC的长度：
（2）若点P在抛物线上，点P位于第二象限，过P作PQ⊥AB，垂足为Q．已知PQ＝，求点P的坐标．
27．已知抛物线y＝﹣2x2+4x+m．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有且只有一个交点？
（2）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞2，试比较y1与y2的大小．
28．如图，已知关于x的二次函数y＝x2+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x＝1．
（1）常数m＝ ，点A的坐标为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2+mx＝n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值范围；
（3）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣k＝0（k为常数）在﹣2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．【分析】①利用抛物线两点式方程进行判断；
②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；
③利用顶点坐标公式进行解答；
④利用两点间的距离公式进行解答．
【解答】解：①y＝ax2+（2﹣a）x﹣2＝（x﹣1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴有2个交点，
∴△＝（2﹣a）2+8a＝（a+2）2＞0，
∴a≠﹣2．
∴该抛物线的对称轴为：x＝＝﹣．无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，﹣2）可知，y的最小值不大于﹣2，故③正确；
④∵A（1，0），B（﹣，0），C（0，﹣2），
∴当AB＝AC时，＝，
解得 ．故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉抛物线的性质．
3．【分析】根据题意可知抛物线经过点（0，0），由抛物线的对称性可求得b＝﹣4，然后将b＝﹣4代入方程得到关于x的一元二次方程，最后的方程的解即可．
【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．
解得：x1＝0，x2＝﹣b．
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴﹣b＝4．
解得：b＝﹣4．
将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
4．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；根据函数图象得当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以④正确；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B点（﹣4，0）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．【分析】先表示出OD，进而表示出AD，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：如图，由y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣1）（x﹣3）知，A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
令x＝0，y＝3m，
∴C（0，3m），
∴OC＝3m，
过点A作AD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝m，
∴CD＝OC﹣OD＝2m
∵AC是∠OCB的平分线，
∴∠OCA＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠BCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴AD＝CD＝2m，
在Rt△OAD中，根据勾股定理得，AD2﹣OD2＝OA2，
∴（2m）2﹣（m2）2＝12，
∴m＝﹣（舍）或m＝．
故选：D．
【点评】主要考查了抛物线与x轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
6．【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．
7．【分析】分别将x＝0、y＝0代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x值，由此即可找出抛物线与坐标轴的交点坐标，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+6x﹣9＝﹣9，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与y轴交于点（0，﹣9）；
当y＝﹣x2+6x﹣9＝0时，x1＝x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与x轴交于点（3，0）．
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴有2个交点．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，分别将x＝0、y＝0代入二次函数解析式中求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
8．【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
（﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
9．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；
（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；
（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；
（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
10．【分析】根据当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，确定a＞0，求出顶点坐标，即可求解．
【解答】解：当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，
函数的对称轴为：x＝﹣1，
顶点纵坐标为：0﹣＝﹣a＜0，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
则OE＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP的最大值，进而求解．
12．【分析】首先根据表格确定对称轴，然后确定点（﹣3，0）关于对称轴的对称点，从而确定方程的答案即可．
【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），
所以抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），
∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴＝﹣1，
解得：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是根据表格确定抛物线的对称轴，难度不大．
13．【分析】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴ax2+bx+c＜x，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，
故答案为1＜x＜3．
【点评】主要考查二次函数与不等式（组），此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，
所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．
故答案为：x2＜x＜x3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便．
15．【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，
抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①正确，
当y＝0时，x＝0或x＝2，故方程ax2+bx+c的根为0和2，故③正确，
当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝6，利用抛物线的对称性得到x＝4和x＝8对应的函数值相等，则可判断抛物线与x轴的交点坐标为（4，0），（8，0），然后把（4，0）代入解析式可求出a的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝6，
∴x＝4和x＝8对应的函数值相等，
∵在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（4，0），（8，0），
把（4，0）代入y＝ax2﹣12ax+36a﹣5得16a﹣48a+36a﹣5＝0，解得a＝．
故答案为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
17．【分析】利用判别式的意义得到82﹣4×2×m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，
∴△＝82﹣4×2×m＝0，
∴m＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．
18．【分析】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积＝△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
【解答】解：在y＝﹣x2﹣x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
当y＝0时，有﹣x2﹣x+2＝0，解得：x＝﹣4或x＝1，
∴点A（﹣4，0）、B（1，0），
∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，﹣m2﹣m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH＝﹣m2﹣m+2，AH＝m+4，HO＝﹣m，
∵四边形OCDA的面积＝△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S＝（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），
＝﹣m2﹣4m+4
＝﹣（m+2）2+8，（﹣4＜m＜0）；
则m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式及配方法是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；
（2）先将函数y＝mx2+2mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx2．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，
∴，
解得，m＜0，
即m的取值范围是m＜0；
（2）∵函数y＝mx2+2mx+m﹣4＝m（x+1）2﹣4，
∴函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx2的图象．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程的定义、根的判别式、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
20．【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
21．【分析】（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3，求得b值，则二次函数的解析式可得；
（2）令y＝0，解得x值，则二次函数的图象与x轴的交点坐标可得．
【解答】解：（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3得
5＝4+2b﹣3
解得：b＝2
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）令y＝x2+2x﹣3＝0
则：（x﹣1）（x+3）＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数与x值的交点坐标，属于基础知识的考查，难度不大．
22．【分析】（1）根据表格中的点的坐标特点先确定定点的坐标，设顶点式即可求解；
（2）根据表格中的点的坐标可知某两个点是对称点即可求解；
（3）根据（1）求得表中其它未知点的坐标后即可画函数图象；
（4）根据所画出的抛物线与x轴围成的封闭区域即可得结论．
【解答】解：（1）观察表格中的x、y的值，可知
（﹣2，0）、（4，0）是对称点，所以抛物线的对称轴是x＝1，
所以顶点坐标为（1，3）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（2，）代入，
＝a（2﹣1）2+3，解得a＝﹣，
所以这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+．
答：这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+．
（2）因为抛物线的对称轴是x＝1，
（0，m）、（2，）是对称点，
所以m＝，
故答案为．
（3）如图即是这个二次函数的图象．
（4）根据二次函数图象与x轴围成的封闭区域，可知
横、纵坐标都是整数的点共有8个：
（﹣1，1）、（0，1）、（1，1）、（2，1）、（3，1）、（0，2）、（1，2）、（2，2）．
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的顶点坐标．
23．【分析】（1）用待定系数法进行解答；
（2）联立两个函数解析，求出M、N点的坐标，由抛物线顶点坐标公式求P点坐标，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，根据S△PMN＝S△PMF+S△PNF求△PMN的面积；
（3）根据观察函数图象，直接写答案便可．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解方程组，得
，，
∴M（﹣，﹣），N（4，5），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，﹣4），
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴F（1，），
∴PF＝，
∴S△PMN＝S△PMF+S△PNF＝•PF•（xN﹣xM）＝××（4+）＝；
（3）当y2＝0时，0＝，
解得，x＝，
∴直线y2＝x﹣1与x轴的交点为（，0），
由图象可知，当y1＜y2≤0时，﹣＜x≤．
故答案为：﹣＜x≤．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
24．【分析】（1）由一次函数y2＝kx+3（k≠0）求出C点坐标，再把所得C点坐标代入二次函数y1＝，便可求得m；
（2）求出A点坐标，再由函数图象观察，直线在抛物线上方时，x的取值范围；
（3）过B点作BD⊥y轴于D，过A点作AE⊥y轴于点E，通过全等三角形的知识得出B点的坐标，再验证其是否在抛物线上．
【解答】解：（1）令x＝0，则y2＝kx+3＝0+3＝3，
∴C（0，3），
把C（0，3）代入y1＝中，得
3＝3m，
∴m＝1，
∴二次函数的解析式为：y1＝；
（2）由函数图象可知，当两函数图象位于A与C两点之间时，一次函数值大于二次函数值，
∴当﹣2＜x＜0时，一次函数值大于二次函数值；
（3）当x＝﹣2时，y1＝5﹣9+3＝﹣1，
∴A（﹣2，﹣1），
过B点作BD⊥y轴于D，过A点作AE⊥y轴于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝90°，
∵∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△ACE和△CDB中，
，
∴△ACE≌△CDB（AAS），
∴BD＝CE＝3﹣（﹣1）＝4，CD＝AE＝2，
∴OD＝3+2＝5，
∴B（﹣4，5），
当x＝﹣4时，y1═20﹣18+3＝5，
∴点B在二次函数的图象上．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，函数图象上点的坐标特点，熟悉这些知识是解题的关键，（3）小题关键是构造全等三角形求出点B的坐标．
25．【分析】（1）由函数的图象可知c＝3，把（1，0）代入抛物线的解析式即可求出b的值；
（2）由（1）中的抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴和y的最大值；
（3）根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）由函数的图象可知c＝3，把（1，0）代入y＝﹣x2+bx﹣c得，b＝﹣2，
所以b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）由（1）可知y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴直线x＝﹣1，y＝4；
（3）由图象知，抛物线与x轴交于（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
∴x＞1或x＜﹣3．
【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点，其中△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
26．【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可得到点A的坐标，进而求得函数解析式，再令y＝0，即可得到点C的坐标，从而可以得到线段AC的长；
（2）根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式，然后根据二次函数的性质和平行线的性质，可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B，且OA＝OB，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB＝OA＝3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3，
解得，b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，
即线段AC的长是4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（3，0），
∴直线AB的函数解析式为y＝x+3，
过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则点D的坐标为（m，m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PD∥y轴，∠ABO＝45°，
∴∠PDQ＝∠ABO＝45°，
又∵PQ⊥AB，PQ＝，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD＝＝2，
∴﹣m2﹣3m＝2，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2，
当m＝﹣1时，﹣m2﹣2m+3＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2﹣2m+3＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
27．【分析】（1）先求出△的值，再根据△的值判断出抛物线与x轴的交点问题即可；
（2）把抛物线y＝﹣2x2+4x+m化为顶点式的形式，求出其对称轴方程，判断出x1、x2所在的位置，再由抛物线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴△＝42﹣4×（﹣2）m＝16+8m＝0，解得m＝﹣2；
（2）∵原抛物线可化为y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣2，
∴抛物线的对称轴方程为x＝1，
∵x1＞x2＞2＞1，
∴A，B在对称轴的右侧，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞2，
∴y1＜y2．
故答案为：m＝﹣2，y1＜y2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及抛物线的性质，熟练掌握二次函数的有关知识是解答此题的关键．
28．【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1，求出m的值，得到解析式，求出点A的坐标；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出n的取值范围；
（3）根据判别式和方程在﹣2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，m＝﹣2，
则二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
x2﹣2x＝0，x＝0或2，
∴点A的坐标为 （2，0），
∴常数m＝﹣2，点A的坐标为 （2，0）；
（2）∵一元二次方程x2﹣2x＝n有两个不相等的实数根，
∴△＝4+4n＞0，
n＞﹣1
（3）一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有解，
则△＝4+4k≥0，
k≥﹣1，
方程的解为：x＝1±，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有解，
1﹣＞﹣2，k＜8，
1+＜3，k＜3，
∴﹣1≤k＜8．
【点评】本题考查的是待定系数法求解析式和抛物线与x轴的交点问题，把二次函数和一元二次方程有机结合起来是解题的关键，在求k的取值范围时，不要忘记判别式的应用．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
3
n
……
y
……
8
3
0
﹣1
m
3
8
……
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
p
m
3
q
0
…
《5.4 二次函数与一元二次方程》同步练习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
2．已知抛物线y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：
①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
③y的最小值不大于﹣2；
④若AB＝AC，则．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
4．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a﹣b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根；
⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．①④⑤D．②③④
5．如图，已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
8．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0B．c＝1C．c＝0或c＝1D．c＝0或c＝﹣1
9．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（ ）
（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．对于抛物线y＝ax2+2ax，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二．填空题（共8小题）
11．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 ．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为 ．
14．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为 ．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
16．二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为
17．抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝ ．
18．如图，二次函数Y＝﹣x2﹣x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是 ．
三．解答题（共10小题）
19．已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；
（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．
（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？
20．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
21．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式，
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
22．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）表格中字母m＝ ；（直接写出答案）
（3）在给定的直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）以上二次函数的图象与x轴围成的封闭区域内（不包括边界），横、纵坐标都是整数的点共有 个．（直接写出结果）
23．如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2＝x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是 ．（直接写出结果）
24．如图，二次函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+3（k≠0）的图象的一个交点为A，点A的横坐标为﹣2，另一个交点C在y轴上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x取何值时，一次函数值大于二次函数值？
（3）将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点B，请判断点B是否在该二次函数的图象上．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＜0时，x的取值范围．
26．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求线段AC的长度：
（2）若点P在抛物线上，点P位于第二象限，过P作PQ⊥AB，垂足为Q．已知PQ＝，求点P的坐标．
27．已知抛物线y＝﹣2x2+4x+m．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有且只有一个交点？
（2）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞2，试比较y1与y2的大小．
28．如图，已知关于x的二次函数y＝x2+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x＝1．
（1）常数m＝ ，点A的坐标为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2+mx＝n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值范围；
（3）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣k＝0（k为常数）在﹣2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．【分析】①利用抛物线两点式方程进行判断；
②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；
③利用顶点坐标公式进行解答；
④利用两点间的距离公式进行解答．
【解答】解：①y＝ax2+（2﹣a）x﹣2＝（x﹣1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴有2个交点，
∴△＝（2﹣a）2+8a＝（a+2）2＞0，
∴a≠﹣2．
∴该抛物线的对称轴为：x＝＝﹣．无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，﹣2）可知，y的最小值不大于﹣2，故③正确；
④∵A（1，0），B（﹣，0），C（0，﹣2），
∴当AB＝AC时，＝，
解得 ．故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉抛物线的性质．
3．【分析】根据题意可知抛物线经过点（0，0），由抛物线的对称性可求得b＝﹣4，然后将b＝﹣4代入方程得到关于x的一元二次方程，最后的方程的解即可．
【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．
解得：x1＝0，x2＝﹣b．
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴﹣b＝4．
解得：b＝﹣4．
将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
4．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；根据函数图象得当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以④正确；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B点（﹣4，0）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．【分析】先表示出OD，进而表示出AD，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：如图，由y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣1）（x﹣3）知，A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
令x＝0，y＝3m，
∴C（0，3m），
∴OC＝3m，
过点A作AD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝m，
∴CD＝OC﹣OD＝2m
∵AC是∠OCB的平分线，
∴∠OCA＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠BCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴AD＝CD＝2m，
在Rt△OAD中，根据勾股定理得，AD2﹣OD2＝OA2，
∴（2m）2﹣（m2）2＝12，
∴m＝﹣（舍）或m＝．
故选：D．
【点评】主要考查了抛物线与x轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
6．【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．
7．【分析】分别将x＝0、y＝0代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x值，由此即可找出抛物线与坐标轴的交点坐标，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+6x﹣9＝﹣9，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与y轴交于点（0，﹣9）；
当y＝﹣x2+6x﹣9＝0时，x1＝x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与x轴交于点（3，0）．
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴有2个交点．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，分别将x＝0、y＝0代入二次函数解析式中求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
8．【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
（﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
9．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；
（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；
（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；
（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
10．【分析】根据当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，确定a＞0，求出顶点坐标，即可求解．
【解答】解：当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，
函数的对称轴为：x＝﹣1，
顶点纵坐标为：0﹣＝﹣a＜0，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
则OE＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP的最大值，进而求解．
12．【分析】首先根据表格确定对称轴，然后确定点（﹣3，0）关于对称轴的对称点，从而确定方程的答案即可．
【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），
所以抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），
∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴＝﹣1，
解得：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是根据表格确定抛物线的对称轴，难度不大．
13．【分析】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴ax2+bx+c＜x，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，
故答案为1＜x＜3．
【点评】主要考查二次函数与不等式（组），此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，
所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．
故答案为：x2＜x＜x3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便．
15．【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，
抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①正确，
当y＝0时，x＝0或x＝2，故方程ax2+bx+c的根为0和2，故③正确，
当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝6，利用抛物线的对称性得到x＝4和x＝8对应的函数值相等，则可判断抛物线与x轴的交点坐标为（4，0），（8，0），然后把（4，0）代入解析式可求出a的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝6，
∴x＝4和x＝8对应的函数值相等，
∵在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（4，0），（8，0），
把（4，0）代入y＝ax2﹣12ax+36a﹣5得16a﹣48a+36a﹣5＝0，解得a＝．
故答案为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
17．【分析】利用判别式的意义得到82﹣4×2×m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，
∴△＝82﹣4×2×m＝0，
∴m＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．
18．【分析】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积＝△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
【解答】解：在y＝﹣x2﹣x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
当y＝0时，有﹣x2﹣x+2＝0，解得：x＝﹣4或x＝1，
∴点A（﹣4，0）、B（1，0），
∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，﹣m2﹣m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH＝﹣m2﹣m+2，AH＝m+4，HO＝﹣m，
∵四边形OCDA的面积＝△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S＝（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），
＝﹣m2﹣4m+4
＝﹣（m+2）2+8，（﹣4＜m＜0）；
则m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式及配方法是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；
（2）先将函数y＝mx2+2mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx2．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，
∴，
解得，m＜0，
即m的取值范围是m＜0；
（2）∵函数y＝mx2+2mx+m﹣4＝m（x+1）2﹣4，
∴函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx2的图象．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程的定义、根的判别式、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
20．【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
21．【分析】（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3，求得b值，则二次函数的解析式可得；
（2）令y＝0，解得x值，则二次函数的图象与x轴的交点坐标可得．
【解答】解：（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3得
5＝4+2b﹣3
解得：b＝2
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）令y＝x2+2x﹣3＝0
则：（x﹣1）（x+3）＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数与x值的交点坐标，属于基础知识的考查，难度不大．
22．【分析】（1）根据表格中的点的坐标特点先确定定点的坐标，设顶点式即可求解；
（2）根据表格中的点的坐标可知某两个点是对称点即可求解；
（3）根据（1）求得表中其它未知点的坐标后即可画函数图象；
（4）根据所画出的抛物线与x轴围成的封闭区域即可得结论．
【解答】解：（1）观察表格中的x、y的值，可知
（﹣2，0）、（4，0）是对称点，所以抛物线的对称轴是x＝1，
所以顶点坐标为（1，3）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（2，）代入，
＝a（2﹣1）2+3，解得a＝﹣，
所以这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+．
答：这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+．
（2）因为抛物线的对称轴是x＝1，
（0，m）、（2，）是对称点，
所以m＝，
故答案为．
（3）如图即是这个二次函数的图象．
（4）根据二次函数图象与x轴围成的封闭区域，可知
横、纵坐标都是整数的点共有8个：
（﹣1，1）、（0，1）、（1，1）、（2，1）、（3，1）、（0，2）、（1，2）、（2，2）．
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的顶点坐标．
23．【分析】（1）用待定系数法进行解答；
（2）联立两个函数解析，求出M、N点的坐标，由抛物线顶点坐标公式求P点坐标，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，根据S△PMN＝S△PMF+S△PNF求△PMN的面积；
（3）根据观察函数图象，直接写答案便可．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解方程组，得
，，
∴M（﹣，﹣），N（4，5），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，﹣4），
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴F（1，），
∴PF＝，
∴S△PMN＝S△PMF+S△PNF＝•PF•（xN﹣xM）＝××（4+）＝；
（3）当y2＝0时，0＝，
解得，x＝，
∴直线y2＝x﹣1与x轴的交点为（，0），
由图象可知，当y1＜y2≤0时，﹣＜x≤．
故答案为：﹣＜x≤．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
24．【分析】（1）由一次函数y2＝kx+3（k≠0）求出C点坐标，再把所得C点坐标代入二次函数y1＝，便可求得m；
（2）求出A点坐标，再由函数图象观察，直线在抛物线上方时，x的取值范围；
（3）过B点作BD⊥y轴于D，过A点作AE⊥y轴于点E，通过全等三角形的知识得出B点的坐标，再验证其是否在抛物线上．
【解答】解：（1）令x＝0，则y2＝kx+3＝0+3＝3，
∴C（0，3），
把C（0，3）代入y1＝中，得
3＝3m，
∴m＝1，
∴二次函数的解析式为：y1＝；
（2）由函数图象可知，当两函数图象位于A与C两点之间时，一次函数值大于二次函数值，
∴当﹣2＜x＜0时，一次函数值大于二次函数值；
（3）当x＝﹣2时，y1＝5﹣9+3＝﹣1，
∴A（﹣2，﹣1），
过B点作BD⊥y轴于D，过A点作AE⊥y轴于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝90°，
∵∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△ACE和△CDB中，
，
∴△ACE≌△CDB（AAS），
∴BD＝CE＝3﹣（﹣1）＝4，CD＝AE＝2，
∴OD＝3+2＝5，
∴B（﹣4，5），
当x＝﹣4时，y1═20﹣18+3＝5，
∴点B在二次函数的图象上．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，函数图象上点的坐标特点，熟悉这些知识是解题的关键，（3）小题关键是构造全等三角形求出点B的坐标．
25．【分析】（1）由函数的图象可知c＝3，把（1，0）代入抛物线的解析式即可求出b的值；
（2）由（1）中的抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴和y的最大值；
（3）根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）由函数的图象可知c＝3，把（1，0）代入y＝﹣x2+bx﹣c得，b＝﹣2，
所以b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）由（1）可知y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴直线x＝﹣1，y＝4；
（3）由图象知，抛物线与x轴交于（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
∴x＞1或x＜﹣3．
【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点，其中△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
26．【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可得到点A的坐标，进而求得函数解析式，再令y＝0，即可得到点C的坐标，从而可以得到线段AC的长；
（2）根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式，然后根据二次函数的性质和平行线的性质，可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B，且OA＝OB，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB＝OA＝3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3，
解得，b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，
即线段AC的长是4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（3，0），
∴直线AB的函数解析式为y＝x+3，
过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则点D的坐标为（m，m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PD∥y轴，∠ABO＝45°，
∴∠PDQ＝∠ABO＝45°，
又∵PQ⊥AB，PQ＝，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD＝＝2，
∴﹣m2﹣3m＝2，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2，
当m＝﹣1时，﹣m2﹣2m+3＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2﹣2m+3＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
27．【分析】（1）先求出△的值，再根据△的值判断出抛物线与x轴的交点问题即可；
（2）把抛物线y＝﹣2x2+4x+m化为顶点式的形式，求出其对称轴方程，判断出x1、x2所在的位置，再由抛物线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴△＝42﹣4×（﹣2）m＝16+8m＝0，解得m＝﹣2；
（2）∵原抛物线可化为y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣2，
∴抛物线的对称轴方程为x＝1，
∵x1＞x2＞2＞1，
∴A，B在对称轴的右侧，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞2，
∴y1＜y2．
故答案为：m＝﹣2，y1＜y2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及抛物线的性质，熟练掌握二次函数的有关知识是解答此题的关键．
28．【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1，求出m的值，得到解析式，求出点A的坐标；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出n的取值范围；
（3）根据判别式和方程在﹣2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，m＝﹣2，
则二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
x2﹣2x＝0，x＝0或2，
∴点A的坐标为 （2，0），
∴常数m＝﹣2，点A的坐标为 （2，0）；
（2）∵一元二次方程x2﹣2x＝n有两个不相等的实数根，
∴△＝4+4n＞0，
n＞﹣1
（3）一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有解，
则△＝4+4k≥0，
k≥﹣1，
方程的解为：x＝1±，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有解，
1﹣＞﹣2，k＜8，
1+＜3，k＜3，
∴﹣1≤k＜8．
【点评】本题考查的是待定系数法求解析式和抛物线与x轴的交点问题，把二次函数和一元二次方程有机结合起来是解题的关键，在求k的取值范围时，不要忘记判别式的应用．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
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