高中数学复数的四则运算同步达标检测题

这是一份高中数学复数的四则运算同步达标检测题，文件包含72复数的乘除运算错题训练我的错题本人教A必修二docx、72复数的乘除运算错题整理我的错题本人教A必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

1.在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2
C．6
B．4
D．8
2.设为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，且，则
3.解实系数方程．
4.若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
类型一：实数集与复数集中的运算混淆致误
【错因解读】在实数中我们经常用到，有时因为这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的，因此在学习过程中要辨析数集由实数集扩展到复数集后一些运算及性质是否仍然适用．
【典例引导】在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2
C．6
B．4
D．8
【错误解法】由题意，
由得，那么或，
∴或，
故选B．
【正确解法】由题意，设，
∴原方程即为，
得
故或或.
故选C．
【补救措施】本题的错误在于没有考虑到在复数中是不成立的.
总结：两个复数的加减运算，应该是实部相加减，虚部相加减.
.
【再练一个】
1．在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2B．C．D．8
类型二：忽视向量的平方和复数平方的区别
【错因解读】对于复数，这和完全不一样，不能将向量的平方与复数的平方混为一谈．
【典例引导】设为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，且，则
【错误解法】由题意，
A：因为复数与向量是一对应的，故，故A正确．
B：设，
则，
，
又，
∴，故B正确；
C：取，则为实数，故C错误；
D：由，得，则，
∴，又，所以，故D正确．
故选：ABD．
【正确解法】由题意，
A：取，则，故A错误；
B：设，
则，
，
又，
∴，故B正确；
C：取，则为实数，故C错误；
D：由，得，则，
∴，又，所以，故D正确．
故选：BD．
【补救措施】本题的错误在于误认为复数与向量的平方和是一样的.
总结：向量的平方就是向量模的平方，它是一个实数，而复数的平方就是两个相同复数的乘积，它们的积仍然是一个复数.
【再练一个】
2．计算复数的平方和其模的平方，并说明两者是否相等.
类型三：复数范围内解方程忽略虚根
【错因解读】解实系数方程时，学生易忽略虚根成对出现的性质（若虚根存在，其共轭复数也是根），导致漏解.
【典例引导】解实系数方程．
【错误解法】因式分解：，
或，
，∴二次方程无解
∴无解.
∴方程仅有实根.
【正确解法】因式分解：，
或，
求根公式：
∵虚根成对，若是根，则其共轭必是根.
∴方程的解为：.
【补救措施】本题的错误在于未对在复数范围内求解，漏掉两个虚根.
总结：实系数多项式方程的虚根必成共轭对出现，求参时优先用韦达定理或代入共轭根.
【再练一个】
3．解方程.
类型四：忽视虚数单位的周期性规律
【错因解读】在复数高次幂（如）运算中，学生常因忽略虚数单位的周期性（周期为4），导致通过逐次计算或错误展开处理高次幂，引发冗余步骤和符号错误.虚数单位满足循环规律：
【典例引导】若复数满足，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【错误解法】∵，得，
无法化简.
故无法做出选择.
【正确解法】由，得，
所以，所以的虚部为.
故选：D.
【补救措施】本题的错误在于未利用周期性化简指数，而是机械展开或重复计算，造成效率低下且易混淆结果符号.
总结：复数高次幂运算的核心避错策略是＂用周期、取余数、弃展开＂.
【再练一个】
4．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（易错点：实数集与复数集中的运算混淆致误）（福建龙岩2024-2025高一下期6月期末教学质量检查）
5．已知复数，则（ ）
A．B．
C．复数在复平面内对应的点在第一象限D．复数是方程在复数集内的解
（易错点：忽视虚数单位的周期性规律）
6．已知复数，，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（易错点：忽视向量的平方和复数平方的区别）
7．已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，为实系数方程的两虚根，则
（易错点：忽视虚数单位的周期性规律）
8．计算： ．
（易错点：复数范围内解方程忽略虚根）
9．设，若关于的二次方程有两个虚根，求需要满足的充要条件.
《7.2 复数的乘、除运算【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．A
【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解.
【详解】设，代入方程：
展开得：
实部与虚部分别为零：
由虚部：
情况1：（实数解）代入实部：，解得或，即，
情况2：（虚数解）则，代入实部：
即，
化简得：，即（无实数解），
仅有2个实数解（无虚数解），故解的个数为2，
故选：A.
2．，，不相等
【分析】根据复数的乘方与复数模的平方分别求解并分析即可判断.
【详解】由题意，复数平方：，
模的平方：，
所以是标量（非负实数），几何意义为复平面点到原点距离的平方；
是复数运算结果，保留代数结构（实部+虚部），
几何意义是复数的对应向量旋转缩放（此处为绕原点逆时针旋转并模长变为倍），
所以，不相等.
3．
【分析】注意到，故利用求根公式求解即可.
【详解】由题意，判别式：，
所以方程无实数解，有两个共轭虚根.
利用求根公式：
4．C
【分析】由复数的运算和几何意义计算可得结果.
【详解】，
由题意可得，得，故实数的取值范围为.
故选：C.
5．ACD
【分析】A选项，利用复数模长公式直接进行求解；B选项，直接计算即可；C选项，在复平面内对应的点坐标为，C正确；D选项，代入计算验证即可.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，
，B错误；
C选项，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，C正确；
D选项，，
复数是方程在复数集内的解，D正确.
故选：ACD
6．B
【分析】由复数的乘方以及复数的几何意义即可得解.
【详解】，
当时，，所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B.
7．ACD
【分析】对A，根据复数的乘方运算求解，判断；对B，根据复数的乘法运算和复数模计算判断；对C，根据复数的除法运算求解判断；对D，根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判断.
【详解】对于A，由，得，故A正确；
对于B，由，，得，故B错误；
对于C，由，得，所以为纯虚数，故C正确；
对于D，若为实系数方程的两虚根，则，
所以，，故D正确.
故选：ACD.
8．
【分析】由复数的定义有，利用复数的四则运算即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
9．
【分析】利用逆向求解，假设方程有实根，求的值即可.
【详解】若关于的二次方程有实根，
则方程组有实根，
由方程组得，
若，则对于方程，，该方程无实根，
所以，所以，则，
所以当时，方程无实根.
所以方程有两个虚根的充要条件为.