2020-2021学年第七章 复数7.2 复数的四则运算学案

这是一份2020-2021学年第七章 复数7.2 复数的四则运算学案，共16页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1，例2-2等内容，欢迎下载使用。

1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
【知识二】复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.
【知识三】复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
【知识四】复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).
【例1-1】计算：（1）；
（2）；
（3）.
【例1-2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，其中i为虚数单位.
(1)求对应的复数.
(2)求对应的复数；
(3)求对应的复数.
【例1-3】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.2 D.eq \r(5)
【变式1-1】(1)数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)复数（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：
(1)eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数；
(2)eq \(DB,\s\up6(→))对应的复数.
【变式1-3】△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
【例2-1】设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
（2）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，则复数eq \f(z1,z2)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【例2-3】若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（ ）
A．29B．C．D．3
【变式2-1】(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于( )
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
【变式2-2】(1)设复数z满足eq \f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
【变式2-3】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根.
课后练习题
1．已知i为虚数单位，设，，且，则______.
2．在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
3．在复平面内，复数，分别对应点，的坐标，则________.
4．若复数z满足，则
5．计算：______________.
6．复数，则____________.
7．已知是虚数单位，复数的共轭复数，求___________.
8．若关于x的一元二次方程（其中）有一个根为（i是虚数单位），则q的值为____________.
9．已知复数（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个虚根，则________.
10．方程有实数根，求实数的值
7.2 复数的四则运算
【知识一】复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
【知识二】复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.
【知识三】复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
【知识四】复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).
【例1-1】计算：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
【例1-2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，其中i为虚数单位.
(1)求对应的复数.
(2)求对应的复数；
(3)求对应的复数.
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】(1)因为，所以表示的复数为.
(2)因为，所以表示的复数为.
(3)，所以对应的复数为.
【例1-3】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.2 D.eq \r(5)
【答案】A
【解析】设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
【变式1-1】(1)数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 A
【解析】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限.
(2)复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故选：B
【变式1-2】已知平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：
(1)eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数；
(2)eq \(DB,\s\up6(→))对应的复数.
【解析】(1)因为ABCD是平行四边形，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，于是eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数是－2＋2i.
(2)因为eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq \(DB,\s\up6(→))对应的复数是5.
【变式1-3】△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
【答案】A
【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心.
【例2-1】设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
（2）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1），
在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C
（2）由得，故.故选：A.
【例2-2】对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，则复数eq \f(z1,z2)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以eq \f(z1,z2)＝eq \f(－2－i,i)＝－1＋2i，
对应的点在第二象限.
【例2-3】若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（ ）
A．29B．C．D．3
【答案】B
【解析】由题意可得，，所以，
故，，则.故选：B.
【变式2-1】(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于( )
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
【答案】D
【解析】(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
【答案】B
【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.
【变式2-2】(1)设复数z满足eq \f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
【答案】 A
【解析】由eq \f(1＋z,1－z)＝i得1＋z＝i(1－z)，
即z＝eq \f(－1＋i,1＋i)＝eq \f(－1＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(－1－i2,2)＝i，|z|＝1.
(2)计算：①eq \f(7＋i,3＋4i)； ②eq \f(－1＋i2＋i,－i).
【解析】 ①eq \f(7＋i,3＋4i)＝eq \f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq \f(25－25i,25)＝1－i.
②eq \f(－1＋i2＋i,－i)＝eq \f(－3＋i,－i)＝eq \f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.
【变式2-3】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根.
【解析】(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝2.))
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
课后练习题
1．已知i为虚数单位，设，，且，则______.
【答案】
【解析】，，即，
，.故答案为：
2．在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
【答案】
【解析】由于，所以对应的复数为.
故答案为：
3．在复平面内，复数，分别对应点，的坐标，则________.
【答案】
【解析】由于复数，分别对应点，，所以，则.故答案为：
4．若复数z满足，则
【答案】
【解析】由得
5．计算：______________.
【答案】
【解析】．故答案为：．
6．复数，则____________.
【答案】
【解析】因为，所以.故答案为：
7．已知是虚数单位，复数的共轭复数，求___________.
【答案】
【解析】因为所以 ，
所以.故答案为：.
8．若关于x的一元二次方程（其中）有一个根为（i是虚数单位），则q的值为____________.
【答案】2
【解析】关于的一元二次方程（其中，有一个根为是虚数单位），
可得是方程的另一个根，所以．
故答案为：2．
9．已知复数（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个虚根，则________.
【答案】
【解析】利用求根公式可知，一个根为，另一个根为，
由韦达定理可得 ，整理得：
所以，，
所以
故答案为：
10．方程有实数根，求实数的值．
【答案】或1
【解析】已知，由．整理，得．
∴．解方程组，得或1.
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3