高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的应用当堂达标检测题

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1.甲船在处发现乙船在其北偏东60°方向上的处，乙船正在以的速度向北行驶，已知甲船的速度是，则甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇.
2.有灯塔和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则 .（结果精确到）
3.在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处.
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
类型一：“不能到达”时忽略物理约束条件
【错因解读】在不可直达的测量问题中（如河对岸目标），仅依赖数学多解而未用实际约束筛选答案.
【典例引导】甲船在处发现乙船在其北偏东60°方向上的处，乙船正在以的速度向北行驶，已知甲船的速度是，则甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇.
【错误解法】设相遇时间为，在中：
，，
由正弦定理：，∴
解得或.
即甲船应沿北偏东或北偏西的方向前进，才能最快与乙船相遇.
故答案为：北偏东或北偏西.
【正确解法】如图所示，设经过两船在点相遇.
在中，，，.
由得.
∵，∴，
∴，
即甲船应沿北偏东的方向前进，才能最快与乙船相遇.
故答案为：北偏东.
【补救措施】本题的错误在于未用运动方向约束排除钝角解.
总结：此类题目注意：标注实际运动趋势，在图中标出速度方向；验证角度合理性，如追赶问题中追赶方向角必为锐角.
【再练一个】
1．如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．
(1)求的长；
(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
类型二：实际方位角处理错误
【错因解读】方位角以正北为基准顺时针旋转，解题时忽略角度相对关系或未转化为三角形内角.
【典例引导】有灯塔和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则 .（结果精确到)
【错误解法】由题意，是正北，则即所求角.
在中，用正弦定理：，即.
方位角转化失败，未能计算出结果.
【正确解法】设，
由题意，，则，
在中，由正弦定理，得，则.
在中，由正弦定理，得，则，
所以，化简整理得
，
可得.
故答案为：.
【补救措施】本题的错误在于割裂两个三角形联系，漏用和共线关键条件.
总结：将方位角转化为三角形内角，用余弦定理求边，正弦定理求角.
【再练一个】（山东淄博第六中学2024-2025高一下期期中学分认定考试）
2．一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
类型三：高度测量模型选择错误
【错因解读】未区分“底部可达”和“底部不可达”模型，误用直接解直角三角形方法.
【典例引导】在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（ ）
A. B. C. D.
【错误解法】由题意，，
代入得，
解得.
故选：A.
【正确解法】如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，，
在中，，
∴山高.
故选：A.
【补救措施】本题的错误在于没有结合图形进行判断解答，虽误打误撞选择正确但是过程完全不对.
总结：解高度测量问题时，先判断模型：
底部可达：直接解观测点－山顶－投影点；
底部不可达：用正弦定理／余弦定理解斜，或构造多个直角三角形联立方程.
【再练一个】
3．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ）
A．B．C．D．
类型四：实际问题中方位角与俯仰角概念混淆
【错因解读】在解决测量类实际问题（如航海、测绘）时，易混淆方位角、方向角、俯角等概念，导致角度关系错误.
【典例引导】如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处.
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【错误解法】由题意，
（1）∵在东北、在西北，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）∵在正西，即，
∴.
【正确解法】（1）在中，，
∴.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
则船的航行速度为（千米/时）.
（2）在中，，
，
，
由正弦定理得.
【补救措施】本题的错误在于方位角（正北顺时针）≠方向角（基准方向锐角），导致角度标注全盘错误，俯角在Rt中对应视线－水平线，而非视线－铅垂线（实际应为.
总结：方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角（范围：），
方向角：从指定方向（如正东、正西）到目标方向的锐角（如北偏东），
俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角（从水平线向下观察），
仰角：仰角是视线在水平线上方的夹角（从水平线向上观察）.
【再练一个】
4．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在水平面上的处测得山顶在北偏东(，点为点在水平面上的射影)方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东向上，此时测得山顶的仰角为，已知山高为千米.
（1）求巡逻船的航行速度是每小时多少千米；
（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？
（易错点：“不能到达”时忽略物理约束条件）
5．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ）
A．0.2小时B．0.3小时C．0.5小时D．1小时
（易错点：实际方位角处理错误）（浙江温州十校联合体2024-2025高一下期4月期中联考）
6．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向B．北偏西30°方向C．北偏西60°方向D．北偏东30°方向
（易错点：高度测量模型选择错误）
7．钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为 米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）．

（易错点：实际问题中方位角与俯仰角概念混淆）
8．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在点观测灯塔的方位角为110°，航行半小时后船到达点，观测灯塔的方位角是65°，则货轮到达点时，与灯塔的距离是多少.

（易错点：“不能到达”时忽略物理约束条件）
9．甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？
《6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．(1)70海里
(2)2小时
【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间.
【详解】（1）根据题意可得．
因为海里，海里，
所以根据余弦定理可得海里．
（2）由余弦定理可得，则，
所以．
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里．
在中，解得或（舍去），
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．
2．A
【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案.
【详解】由已知可知（海里），
则，故（海里），
故选：A
3．D
【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以.
【详解】已知，则.
所以，即为等腰三角形.
所以.
根据正弦定理：.
因为，所以，为直角三角形.
所以.
故选：D.
4．（1）千米/时；（2）山顶位于处的南偏东方向.
【分析】（1）在中，求得，再在中，由正弦定理得到，即可求解；
（2）在中，由余弦定理求得，再在中，由正弦定理求得的值，即可求解.
【详解】（1）由题意知，，，
在中，，解得，
在中，可得，
由正弦定理得，即，
所以，故巡逻船的航行速度是千米/时.
（2）由题意知，.
在中，由余弦定理得，可得，
在中，由正弦定理得，即，
解得，因为为三角形内角，所以，
故山顶位于处的南偏东方向.
5．A
【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果.
【详解】由题意，在中，，，，
所以，
由正弦定理可得，，
则；
又在中，，，
由余弦定理可得，
，所以，
因此救援船到达点需要的时间为小时.
故选：A.
6．D
【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求.
【详解】如图，

由题意，在中，，，，
则为正三角形，则，
在中，因为，，
由余弦定理得，
所以，故，
此时灯塔C位于渔船的北偏东方向.
故选：D.
7．
【分析】利用可得，进而可得钟楼高度.
【详解】由已知得，
因为
所以，
即，解得，
所以钟楼高度AB约为米.
故答案为：.
8．（km）
【分析】利用正弦定理可求的长度.
【详解】由题设可得，（km），
而，故，
由正弦定理可得，故（km）.
9．小时
【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可.
【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s，
则在中，，，，
由余弦定理得，
即.
当时，最小，此时.
即经过小时，甲、乙两船相距最近.