高中数学人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形练习题

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1.下列关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中正确命题的序号是 .
2.已知各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下面一些观点，与周边同学议一议，看看这四位同学的观点谁的正确（ ）
A．以上四个都正确
B．只有（2）（4）正确
C．只有（4）错
D．只有（1）（2）正确
3.正方体中，分别为的中点，那么正方体的过的截面图形是（）
A．三角形
C．五边形
B．四边形
D．六边形
4.如图是水平放置的正方形，在直角坐标系中，点的坐标为，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点至轴的距离为（）
A.
C.1
B.
D.2
5.已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离．
类型一：对空间几何体的结构认识不准确致错
【错因解读】空间几何体的结构认识不清，无法准确举出特例来快速反驳命题，导致做题出错或耽误时间.
【典例引导】下列关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中正确命题的序号是 .
【错误解法】由题意，
有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱，则命题①正确；
若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱，则命题③正确.
故选：①②③④.
【正确解法】由题意，
在两个侧面垂直于底面并不能保证侧棱一定垂直于底面，只有是两个相邻的侧面才可以，如果是两个相对的侧面则可以是斜棱柱则命题①错误；
若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则它们的交线一定垂直于底面，又这一交线是两对角面的平行四边形的中位线，所以四条侧棱都垂直于底面，棱柱为直四棱柱，即命题②正确；
如图所示的斜四棱柱，它的所有棱长都相等，且，这使它的四个侧面两两全等，故命题③错误；
由四棱柱的四条对角线相等得到两对角面是矩形，从而四棱柱是直四棱柱，故命题④正确．
故选：②④.
【补救措施】本题的错误在于对几何体的定义掌握不清，忽略了特殊情况.
总结：有关空间几何体结构的问题，要掌握空间几何体的定义及其性质.
【再练一个】
1．给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
类型二：球与多面体组成的组合体的截面图不清致错
【错因解读】单独说球很简单，因为球有多方位对称性，但是当球被平面所截，特别是与多面体的组合体，问题的难度就大大增加了，要充分发挥空间想象力，把有关球的问题转化为平面问题，熟记一些常见的球与多面体组成的组合体的截面图，将有利于解题．
【典例引导】已知各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下面一些观点，与周边同学议一议，看看这四位同学的观点谁的正确（ ）
A．以上四个都正确
C．只有（4）错
B．只有（2）（4）正确
D．只有（1）（2）正确
【错误解法】由题意，
认为（4）也可以是圆内接三角形，选择除C外的任一选项.
故选：A或B或D.
【正确解法】由题意，
不论怎样作截面，所得的三角形都不可能是圆内接三角形，故只有（4）不对．因此，同学的观点正确．
故选：C.
【补救措施】本题的错误在于对三棱锥内接于球的组合体了解不充分，空间想象力不足导致选择错误.
总结：与球有关的组合体问题，要认真分析图形、明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出符合条件的截面图．
【再练一个】
2．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ）
A．B．C．D．
类型三：辨别不清几何体的截面形状致错
【错因解读】对截面所呈现的形状不敏感，思维浅显直接认为是三角形或四边形.
【典例引导】正方体中，分别为的中点，那么正方体的过的截面图形是（）
A．三角形
C．五边形
B．四边形
D．六边形
【错误解法】由题意，下意识认为截面图形是三角形（四边形）.
故选：A.
【正确解法】由题意，
画出图形，
根据公理及推论画出平面与正方体表面的交线，即可得截面的形状．
如图，取中点，连接.
共面．再取中点
且
共面．
图形为六边形，故选D．
【补救措施】本题的错误在于因思维浅显而导致出现截面为三角形、四边形的错误.
总结：考虑平面与几何体各面的交线应先考虑截面与各面的交点，另外注意平面与平面性质定理的运用.
【再练一个】
3．如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中一定不是其截面图的是（ ）
A．B．
C．D．
类型四：对斜二测画法不清致误
【错因解读】记错或记不完整斜二测画法的规则，导致做题时选择错误.
【典例引导】如图是水平放置的正方形，在直角坐标系中，点的坐标为，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点至轴的距离为（）
A．
C．1
B．
D．2
【错误解法】由题意，
错选是根据斜二测画法规则中的平行于轴的长度减半而得；
错选是根据斜二测画法规则中的应画成，得距离为；
错选是将此图误认为是直观图，而由坐标直接得到答案.
【正确解法】由题意，
根据斜二测画法规则画出直观图，如图．
作轴于点，在中，，，则，
故选．
【补救措施】本题的错误在于对写二测画法规则不清楚.
总结：用斜二测画法画几何体的直观图，是空间几何体直观图的画法基础.在已知图形中平行与轴的线段长度不变，平行与轴的线段在直观图中画成平行于轴，长度变为原来的一半.
【再练一个】
4．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20B．12C．D．
类型五：忽视对截面位置情况讨论致误
【错因解读】由于两平行平面的位置不确定，因此需要分类讨论，事实上两个平行的截面分两种情形：①在球心的同侧；②在球心的异侧，所以解答应分两种情形．
【典例引导】已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离．
【错误解法】由题意，
如图甲，设球的轴截面为圆为球的直径且分别与两截面交于点，则为截面的圆心，且两圆半径分别为3和4．
由图甲知，．
故这两个截面间的距离为1.
【正确解法】由题意，
如图乙，设球的轴截面为圆为球的直径且分别与两截面交于两点，则分别为两个截面的圆心，且两半径分别为3和4．
若两个平行截面在球心的同侧，则；
若两个平行截面在球心的异侧，则．
综上，这两个界面间的距离为1或7.
【补救措施】本题的错误在于没有对截面进行分类讨论.
总结：平面与球的截面问题，要注意截面与球心的位置，截面圆的半径与球的半径、球心与截面圆圆心的距离之间额勾股数关系.
【再练一个】
5．若球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为3，则两个平行截面的距离为 ．
（易错点：球与多面体组成的组合体的截面图不清致错）
6．如图，球内切于正方体，B，C为所在棱的中点，过A，B，C三点的截面图象为（ ）
A．B．
C．D．
（易错点：辨别不清几何体的截面形状致错）
7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（ ）
A．正六边形B．五边形C．矩形D．三角形
（易错点：对斜二测画法不清致误）
8．如图，梯形A′B′C′D′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中A′O′C′D′为菱形，且A′B′=2D′C′=6，则原图形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．27
（易错点：对空间几何体的结构认识不准确致错）
9．在正棱锥中，侧面可为正三角形的是（ ）
A．正四棱锥B．正五棱锥C．正六棱锥D．正八棱锥
（易错点：忽视对截面位置情况讨论致误）
10．已知球是正三棱锥的外接球，，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .
《8.1 基本立体图形与直观图【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．A
【分析】根据圆柱母线的定义可判断命题①的正误；根据棱锥的定义可判断②的正误；根据圆锥的形成可判断命题③的正误；根据棱台的定义可判断命题④的正误.
【详解】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;
③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
故选：A
2．B
【分析】由对角线组成的面称为对角面，易得正方体的对角面是一个矩形，而球截面在矩形正中间，与矩形的两条边相切，据此即可判断
【详解】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合
故选：B
3．B
【分析】分析用不同方式去截几何体得到截面的形状即可求解.
【详解】用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方体的任何面的平面截都无法得到.
故选：B
4．A
【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.
【详解】由题设，则原四边形中，又，
故，且，
所以四边形的周长为.
故选：A
5．1或3
【分析】先根据题意画出球的截面图，通常是画出球的一个大圆，且包含两平行截面的直径，本题的图形要考虑两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧，最后在截面图中利用平面几何的知识求解即可．
【详解】解: （1）当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，
由截面性质知，
，为两截面圆的圆心，且，．
∵，∴，同理得．
则，，
∴两个平行截面的距离．
（2）当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，
由（1）知，
，，
∴两个平行截面的距离．
综上所述，两个平行截面的距离为1或3．
故答案为: 1或3．
6．B
【分析】先分析过A，B，C三点的平面与正方体及其内切球截面的形状，可排除选项A、D；再研究这两个平面图形的位置关系即可求解.
【详解】设正方体的棱长为2，则内切球的半径为1；
过A，B，C三点的平面与正方体的截面是一个菱形，故排除选项A；
过A，B，C三点的平面与正方体内切球的截面是一个圆，故排除选项D；
该菱形的两条对角线为、，边长为，
且截面菱形的中心到各边的距离为，
截面圆的圆心是正方体内切球的球心，半径为1，
因为，所以排除选项C，即选项B正确.
故选：B.
7．C
【解析】1
【详解】由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积.
故答案选C.
8．D
【分析】根据，可得答案.
【详解】解：由题可知，,所以梯形A′B′C′D′的高为，所以,
所以原来图形的面积为：，
故选：D.
9．AB
【分析】根据正棱锥底面多边形的特点，假设侧面都是正三角形，分别求出底面外接圆的半径，再求出相应的棱锥的高，即可判断是否成立.
【详解】对于A正四棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a,
则底面外接圆半径为，高为，
满足要求，所以A正确；
对于B正五棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，
设底边长为a，底面正五边形每个内角为，
则底面外接圆半径为，
高为，满足要求，所以B正确；
对于C正六棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，
底面正六边形每个内角为，则底面外接圆半径为a，
高为，不满足条件，所以C不正确；
对于D正八棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，
底面正八边形每个内角为，则底面外接圆半径为，
高为
不满足条件，所以D不正确
故选：AB
10．
【分析】设的中心为，球的半径为，连接，，，，可得，解得，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．
【详解】解：如图，设的中心为，球的半径为，
连接，，，，
则，，
在中，，解得，
，，
在中，，
，
过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为，最小面积为，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．
所得截面圆面积的取值范围是，
故答案为：．