人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算同步达标检测题，文件包含人教A版高中数学必修第二册同步讲义第18讲复数的加减运算及其几何意义原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册同步讲义第18讲复数的加减运算及其几何意义含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点一 复数加法与减法的运算法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】 设m∈R，复数z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解 ∵z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝eq \f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
反思感悟 复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
知识点02 复数加、减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(——→))与复数z1－z2对应．
【即学即练2】若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.
能力拓展
考法01 复数代数形式的加、减运算
【典例1】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．
【变式训练】
考法02 复数加、减法的几何意义
【典例2】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数；
(2)eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数；
(3)eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数及eq \(OB,\s\up6(→))的长度．
解 (1)因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数为－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37).
反思感悟 复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．
【变式训练】已知复平面内的向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|eq \(OB,\s\up6(→))|＝________.
答案 eq \r(10)
解析 ∵eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10).
考法03 复数模的综合问题
【典例3】 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5)
答案 A
解析 设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以点Z在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟 两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【变式训练】 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 A
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．已知设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.
故选：A
3．复数 SKIPIF 1 < 0 的模为1，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的 SKIPIF 1 < 0 一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一共有11个.
故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、填空题
7．在复平面中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 则可确定点 SKIPIF 1 < 0 在以O为圆心，2为半径的圆上
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
数形结合可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且z是复数，当 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
11．对于一组复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该复数组的“ SKIPIF 1 < 0 复数”.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在复数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”？若存在，求出所有的 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3）不存在，答案见解析.
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0 ，
相加得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 严格递减
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据以下条件分别求实数 SKIPIF 1 < 0 的值或范围.
（1） SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；（2） SKIPIF 1 < 0 对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
试题解析：（1）由 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 所以m=3.
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知关于 SKIPIF 1 < 0 的实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由求根公式知两虚根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B．复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别对应向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0
C．若点Z的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则Z对应的点在第三象限
D．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z对应的点所构成的图形面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，点Z的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则Z对应的点在第二象限，C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故复数z对应的点所构成的图形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，
故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．若|z＋3i|＝|z＋4－i|，则|z|＋|z－2|的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
可以理解为点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 距离之和，
设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.根据欧拉公式，下列说法不正确的是（ ）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数
【答案】C
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，B正确；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，实部为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，D正确.
故选：C.
二、多选题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是虚数单位）， SKIPIF 1 < 0 ，定义： SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立
【答案】BD
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 错误，如 SKIPIF 1 < 0 ，满足
SKIPIF 1 < 0 ,但 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
8．若复数 SKIPIF 1 < 0 和复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据复数的运算即可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】5
【分析】根据已知条件假设 SKIPIF 1 < 0 ，结合复数模公式，即可求解
【详解】解：假设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②， SKIPIF 1 < 0 ③，
∴③-①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复平面内由点 SKIPIF 1 < 0 形成的区域的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复平面内由点 SKIPIF 1 < 0 形成的区域是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆及其内部，
该区域的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知i为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 找到其在复平面内对应点坐标，再根据复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称确定 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的复数表达形式，根据共轭复数的特点求出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
12．复数 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(1)
SKIPIF 1 < 0 ，
若z为纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
13．已知复数 SKIPIF 1 < 0 均为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(1)
因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
因为 SKIPIF 1 < 0 均为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．i
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，将向量 SKIPIF 1 < 0 绕原点O按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 (i为虚数单位)在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 点在复平面上的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示的是复数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的两点之间的距离，即 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【答案】1
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上．
SKIPIF 1 < 0 ，表示Z到点 SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为1．
【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义， SKIPIF 1 < 0 表示复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 在复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 间的距离．因此有 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 对应的点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆．
5．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ）则由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆，如图：
SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________
【答案】4
【详解】复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则 SKIPIF 1 < 0 表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.
原点O到点(3,4)之间的距离d=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为5-1=4.
故答案为：4.
7．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最大值是_______________.
【答案】3
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为复平面动点到定点 SKIPIF 1 < 0 距离为1的点的轨迹，可看成圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示圆上的点到原点的距离，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为复数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的模的轨迹可理解为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为2的圆.
则 SKIPIF 1 < 0 ，可理解为求点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离，
数形结合可知， SKIPIF 1 < 0 的最大值为4．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
9．设复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应点所构成的图形面积.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点构成的图形为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为3的圆面，
故其面积 SKIPIF 1 < 0
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值．
【答案】最大值 SKIPIF 1 < 0 ，最小值 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，最小值 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养.