高中人教A版 (2019)简单几何体的表面积与体积练习

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1．如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥，则圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示（单位：cm），求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积．
3．圆柱容器轴截面边长为3的正方形，水面高2．放入半径1的铁球，求水面高度．
4．棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积．
5．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为 ．
类型一：空间几何体的表面积计算不全致错
【错因解读】几何体的表面积为几何体的所有表面的面积之和，尤其是几何体内部的表面面积容易漏掉．
【典例引导】如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥，则圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【错误解法】由题意，
，
，
故选：A．
【正确解法】由题意，
知，
，
．
故选：B．
【补救措施】本题的错误在于挖去圆锥后的几何体的表面积减少了一个半径为的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，而错解未考虑到增加的部分．
总结：计算几何体表面积时一定要注意不能漏掉多出的内表面．
【再练一个】
1．如图，某柱桩的底座由一个正六棱柱中间挖掉一个圆柱构成.已知该正六棱柱每个侧面是边长为30cm的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为10cm.为了延长底座的使用时长，需将底座地面之上的部分（除与地面直接接触的底面之外的表面）涂上防氧化层，则涂层的总面积为 .（精确到0.01）
类型二：空间几何体的体积计算不全致错
【错因解读】计算带有空心部分的几何体时没有去掉空心部分
【典例引导】如图所示（单位：cm），求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积．
【错误解法】由图中数据，根据圆台的体积公式，得
，
∴旋转体的体积为．
【正确解法】由图中数据，根据圆台和球的体积公式，得
，
∴旋转体的体积为．
【补救措施】本题的错误在于误认为旋转的是梯形，计算时没有减掉半球的体积．
总结：几何体的体积应该是几何体的所有“实心”部分的体积，一定要去掉空心部分的体积．
【再练一个】
2．我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为
类型三：计算组合体表面积、体积重复扣除或叠加
【错因解读】计算挖切体或组合体的表面积或体积时，错误扣除重叠部分或多算未被挖除的表面积或体积．
【典例引导】圆柱容器轴截面边长为3的正方形，水面高2．放入半径1的铁球，求水面高度．
【错误解法】由球的体积公式，
铁球体积，直接加至原水体：
原水体积，
则总体积，
∴水面高．
【正确解法】由于球是铁球，密度大于水，
∴球需浸没：设水面升高，
则：
解得：．
∴水面高．
【补救措施】本题的错误在于未考虑铁球浸没排开水的体积等于水面上升体积，误用加法原理，将组合体的体积重复叠加．
总结：物体浸没时，．
【再练一个】
3．如图是由三个高为1的圆柱组成的图形，底面半径分别为3、2和1，则它的表面积是 ．
类型四：几何体与内切球问题掌握不清
【错因解读】对内切球（与各面相切）的定义了解不透彻，错误识别球心位置或半径的几何关系（如误将体对角线当直径）．
【典例引导】棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积．
【错误解法】认为内切球直径等于正四面体高：则高，
∴，
∴．
体积．
【正确解法】内切球半径与体积、表面积关系：．
正四面体表面积，体积，
代入公式：，
解得，
．
【补救措施】本题的错误在于本题的错误在于误用“内切球直径等于正四面体高”的错误结论，未掌握内切球半径通用公式 （为表面积）．
总结：内切球：球心到各面距离相等（半径），公式对所有多面体成立．
【再练一个】
4．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（ ）
A．B．C．D．
类型五：几何体与外接球问题掌握全
【错因解读】对外接球的定义以及公式了解不透彻．
【典例引导】在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为 ．
【错误解法】由题意，
，
，
，即为直角三角形．
，
，
，即为直角三角形．
取的中点，连接．
．
外接球半径，
外接球的体积．
故答案为：．
【正确解法】由题意，
，
，
，即为直角三角形．
，
，
，即为直角三角形．
取的中点，连接．
．
外接球半径，
外接球的体积．
故答案为：．
【补救措施】本题的错误在于对外接球体积公式不熟悉．
总结：外接球体积公式：；外接球表面积公式：．
【再练一个】（甘肃临夏州2024-2025高一下期期末质量监测）
5．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为 ，体积为 ．
（易错点：计算组合体表面积、体积重复扣除或叠加）（湖北宜昌葛洲坝中学2024-2025高一下期期末考试）
6．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则下列结论中，错误的是（ ）

A．该石凳的表面积为B．该石凳的体积为
C．直线与的夹角为D．直线与的夹角为
（易错点：几何体与内切球问题掌握不清）（河北卓越联盟2024-2025高一下期第三次考试）
7．将一块棱长为4厘米的正方体木块打磨成一个球，则该球体积的最大值是（ ）
A．立方厘米B．立方厘米C．立方厘米D．立方厘米
（易错点：空间几何体的体积计算不全致错）
8．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，DA的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为 ．
（易错点：空间几何体的表面积计算不全致错）
9．如图是由三个高为1的圆柱组成的图形，底面半径分别为3、2和1，则它的表面积是 ．
（易错点：几何体与外接球问题掌握不全）（山东烟台2024-2025高一下期期末学业水平诊断）
10．已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为 ．
《8.2 简单几何体的表面积与体积【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．
【分析】由题意可知，再分别求出各个面积即可．
【详解】由题意可知:
，
故答案为：
2．
【分析】圆柱的体积减去圆锥的体积可得答案.
【详解】圆柱的体积为，圆锥的体积为，
所以所求的几何体的体积为.
故答案为：.
3．30π
【分析】由图可得该图形的表面积可看作为三个圆柱的侧面积加上大圆柱的上下底面，即可求出.
【详解】由图可得该图形的表面积可看作为三个圆柱的侧面积加上大圆柱的上下底面，
所以它的表面积为.
故答案为：.
4．A
【分析】利用圆锥的性质得到，，再结合圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出表面积，结合题意建立方程，得到，最后再利用圆锥的底面积和侧面积公式求出比例关系即可.
【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接，

则，可得，故，
因为，，，
所以，故，
则，可得，
由圆锥表面积公式得
，
因为，所以，
由球的表面积公式得，
因为圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，所以，
可得，
由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得，
整理得，即，
化简得，解得．
得到，故A正确.
故选：A．
5．
【分析】先求底面三角形的外接圆半径，再根据外接球球心在三棱柱的中截面上，求出外接球半径，进而根据公式求球的表面积和体积.
【详解】如图：
因为，，所以.
设底面外接圆半径为，则.
设底面的外接圆圆心为，过作平面的垂线，在三棱柱的同侧取点，使得，则为三棱柱外接球的球心.
设三棱柱外接球的半径为，则.
所以球的表面积为：；
体积为：.
故答案为：；
【点睛】.
6．D
【分析】将二十四等边体补全成一个棱长为的一个正方体，进而逐项判断即可：选项A，结合图形可知二十四等边体是由6个边长为2的正方形和8个边长为2的等边三角形围成，表面积为这些图形面积的总和；选项B，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，用正方体体积减去8个小三棱锥体积即可；选项C，结合正方体的性质和已知二十四等边体的性质推出，从而得出直线与的夹角即为与所成角；选项D，根据选项C结论直接判断.
【详解】由图可知，二十四等边体是由6个边长为2的正方形和8个边长为2的等边三角形围成，
∴表面积为：，故A正确；
补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，则该正方体的体积为：
，
其中每个小三棱锥的体积为：，
∴该二十四面体的体积为：，故B正确；

如图，因为四边形为正方形，所以，
又因为分别为正方体的棱长的中点，
所以，
所以，
因为与所成角为，
所以直线与的夹角为，故C正确；
由选项C可知直线与的夹角为，故D错误；
故选：D．
7．B
【分析】由题意可得球的半径的最大值，进而利用球的体积公式求解即可.
【详解】由题意可知该球半径的最大值为2厘米，则该球体积的最大值是立方厘米．
故选：B.
8．##
【分析】由于该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，即可求出答案.
【详解】由于该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，故圆锥
故答案为：.
9．30π
【分析】由图可得该图形的表面积可看作为三个圆柱的侧面积加上大圆柱的上下底面，即可求出.
【详解】由图可得该图形的表面积可看作为三个圆柱的侧面积加上大圆柱的上下底面，
所以它的表面积为.
故答案为：.
10．##
【分析】根据三棱锥外接球的性质及三棱锥体积公式可得解.
【详解】
如图所示，设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，
由，，
则，
即，
且，
所以外接圆半径为，
则，
所以当点在的延长线上时，三棱锥的体积最大，
此时三棱锥的高为，
即三棱锥体积，
故答案为：.