高中人教A版 (2019)复数的四则运算优质教学设计

这是一份高中人教A版 (2019)复数的四则运算优质教学设计，共7页。
教材分析
复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一．复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材．对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过向量加法、减法法则来进行)，它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合．
课时分配
1课时．
教学目标
1．掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．
2．培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．
3．培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．
教学重难点
重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则．
难点：复数加法、减法的几何意义．
教学过程
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(引入新课))
我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算．
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(探究新知))
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
提出问题：
问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
问题2：当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？
问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
活动设计：学生独立思考，口答．
活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
设计意图
加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性．
提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流．
活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，
显然，z1＋z2＝z2＋z1.同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
设计意图
引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．
下面我们根据复数的几何意义，探究一下复数加法的几何意义．
提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证．
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．
学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决．
设向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，
则OZ1＝(a，b)，eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，有OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)．
这说明两个向量eq \(OZ1,\s\up6(→))与eq \(OZ2,\s\up6(→))的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．
活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．
设计意图
既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想．
下面我们来研究复数的减法
提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义．
活动设计：学生独立完成，口述，教师板书．
活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi叫做复数a＋bi减去复数c＋di的差，记做(a＋bi)－(c＋di)．
2．复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的．
设计意图
考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力．
提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．
学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a＋bi)－(c＋di)＝(a＋bi)＋(－1)(c＋di)
＝(a＋bi)＋(－c－di)
＝(a－c)＋(b－d)i.
活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c＋x＝a，d＋y＝b，
因此x＝a－c，y＝b－d，
即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
设计意图
让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯．
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(理解新知))
提出问题：
问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？
问题2：复数的加(减)法实质是什么？
问题3：多个复数相加减怎样运算？
活动设计：学生独立完成，口述，教师完善．
活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；
2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；
3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
设计意图
加深对复数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础．
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(运用新知))
例1计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出．
解法一：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
解法二：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2)＋(－6－1)i－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝－11i.
点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性．解法一是直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好．
变式练习
计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(99－100i)＋(－100＋101i)．
思路分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加．
解：原式＝(1－2＋3－4＋…＋99－100)＋(－2＋3－4＋5－…－100＋101)i＝－50＋50i.
点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性．
变练演编
教师：我们知道，在复数减法的几何意义中，复数z1－z2与向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))一一对应，那么，z1－z2的模长呢？显然，|z1－z2|＝|eq \(Z2Z1,\s\up6(→))|＝|Z1Z2|，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．
提出问题：设动点Z与复数z＝x＋yi对应，定点P与复数p＝a＋bi对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程．
活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果．
活动成果：解：设定点P为圆心，r为半径，如图，由圆的定义，得复平面内圆的方程|z－p|＝r.
提出问题：
1．复平面内满足__________的点Z的集合表示的图形是以P为圆心，r为半径的不含边界的圆面部分．
2．由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内点的轨迹方程．
活动设计：学生分组完成，教师完善．
活动成果：1.|z－p|