高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算优质学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算优质学案设计，共8页。学案主要包含了知识梳理，课堂达标等内容，欢迎下载使用。
【引入】 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？
一、复数乘法的运算法则和运算律
探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？


探究2 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.


【知识梳理】
1.复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝____________.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
温馨提示 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2.
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.
例1 (链接教材P78例3)计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.




思维升华 1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.
2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
训练1 (1)(链接教材P78例4)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( )
A.2i－13 B.13＋2i C.13－2i D.－13－2i
(2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
二、复数除法的运算法则
探究3 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？


【知识梳理】
复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝__________________(a，b，c，d∈R，且c＋d＋i≠0).
温馨提示 (1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式.
例2 (1)(链接教材P79例5)eq \f(3＋i,1＋i)＝( )
A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i
(2)若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,z\(z,\s\up6(－))－1)＝( )
A.－1＋eq \r(3)i B.－1－eq \r(3)i
C.－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i D.－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
思维升华 1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，eq \f(1,i)＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，eq \f(a＋bi,b－ai)＝i等.
2.运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
训练2 (1)若i(1－z)＝1，则z＋eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
(2)若复数z＝eq \f(1－i,1＋i)＋i3＋i4，则z＝( )
A.1－2i B.1＋2i C.1 D.－1
(3)(多选)若复数z满足(1－i)z＝i2 026，eq \(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，则( )
A.|z|＝eq \f(\r(2),2)
B.z·eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)
C.z在复平面内对应的点位于第二象限
D.eq \f(\(z,\s\up6(－)),z)是纯虚数
三、复数范围内的解方程问题
探究4 对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，
(1)当判别式Δ＝b2－4ac>0时，方程的两个根是什么？根与方程的系数有什么关系？
(2)当判别式Δ＝b2－4ac