数学必修 第二册复数的四则运算优质学案及答案

这是一份数学必修 第二册复数的四则运算优质学案及答案，共12页。
第7.2.1讲 复数的加、减运算及其几何意义
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．掌握复数代数形式的加法、减法运算法则．(重点)
2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义．(重点)
3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题．(难点)
1、复数的加减运算及几何意义
2、根据复数的加减运算求参数
3、根据复数的加减运算求复数的特征
知识点一 复数加法、减法运算
1．复数加法、减法的运算法则
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝eq \(□,\s\up2(1))(a＋c)＋(b＋d)i；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝eq \(□,\s\up2(2))(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
设z1，z2，z3∈C，则有
交换律：z1＋z2＝eq \(□,\s\up2(3))z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝eq \(□,\s\up2(4))z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两条邻边的平行四边形的对角线对应的向量eq \(OZ,\s\up6(→))所对应的复数，即复数的加法可以按照eq \(□,\s\up2(5))向量的加法来进行，亦即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(□,\s\up2(6))eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，如图．
知识点三 复数减法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1－z2是连接向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向eq \(□,\s\up2(7))被减向量终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行，如图．
题型1、复数的加减运算及几何意义
1．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6B．C．D．7
【答案】C
【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.
【详解】复数，为实数，则，
由为实数，得，解得，又，
显然，由为纯虚数，得，解得，
所以.
故选：C
2．已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数.
【详解】设，则，
所以，即，
所以， 解得，
因此，
故选：C．
3．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为.
故选：D.
4．设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.
故选：C
5．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意确定出费马点的位置，进而可求得结果.
【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.
依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.
此时.
故选：B.
题型2、根据复数的加减运算求参数
6．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.
【详解】设，可得
因为，所以
解得，所以.
故选：A.
7．若，则的实部可能是（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】A
【分析】设，则由已知可得，则，然后代入中计算可求出其实部，从而可得答案.
【详解】设，
因为，
所以，得，
所以，
所以，
则的实部，
故选：A
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果.
【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．
故选：B.
9．若|z|+z=3+i，则z=（ ）
A．1－iB．1+i
C．+iD．－+i
【答案】C
【分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：+ x+yi=3+i，从而求出答案.
【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)，
依题意有+x+yi=3+i，
因此解得故z=+i.
故选：C.
10．，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，化简得到，解得答案.
【详解】设，则，故，
故，故.
故选：.
【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
题型3、根据复数的加减运算求复数的特征
11．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得，
即，可得，
则在复平面内对应的点为位于第一象限.
故选：A.
12．复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
13．实数时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.
【详解】
又，故
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：
14．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的运算可得，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可得：，
所以该复数对应的点为，该点在第四象限.
故选：D.
15．设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.
【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，
位于第二象限.
故选：B
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.
【详解】，故，
所以，解得.
故选：B
2．复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．B．C．6D．7
【答案】A
【分析】由复数运算和分类可解.
【详解】由题意，，
因为为实数，为纯虚数，
所以，得，
所以.
故选：A.
3．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.
【详解】因为可化为，
所以点的坐标为，则，
所以，
所以．
故选：A．
4．若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为复数（为虚数单位），则，
所以，，
因此，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选：C.
5．已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．25B．9C．5D．3
【答案】C
【分析】直接解方程组求出复数，从而可求出复数的模
【详解】由，得，解得，
所以，
故选：C
6．在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】由复数的几何意义可得，再根据题意计算复数的模即可.
【详解】因为复数对应的向量，所以，
所以.
故选：.
7．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.
【详解】因为z在复平面内对应的点为，
所以，则，
又，所以，即.
故选：C．
8．已知复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，化简已知等式可求得，由复数模长运算可求得结果.
【详解】设，
由得：，，
整理可得：，，
（当且仅当时取等号），的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9．已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或
【答案】AC
【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.
【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；
B：取，，满足，但，故本选项错误；
C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；
D：取，，则，，此时且，故D不正确．
故选：AC
10．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（ ）
A．的虚部为
B．为纯虚数
C．
D．以为三边长的三角形为钝角三角形
【答案】BCD
【分析】计算，结合复数的概念，即可判断A、B；由已知得出，求解数量积即可判断C；由已知求出的长，根据三边之间的关系，即可判断D.
【详解】对于A项，因为，所以的虚部为，所以A错误；
对于B项，因为，所以为纯虚数，所以B正确；
对于C项，因为，，
所以，所以，所以C正确；
对于D项，由已知可得，，，
且，所以，，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(－∞,2)
【分析】利用复数减法化简，根据复数所在象限有，即可求参数范围.
【详解】由题设在第四象限，
所以，即.
故答案为：
12．若复数，，，其中，为实数，则 .
【答案】
【分析】先根据，其中，为实数，利用复数相等求得x，y求解.
【详解】解：因为数，，，其中，为实数，
所以，解得 ，
则，，
所以，
故答案为：
四、解答题
13．已知复数，，．
(1)若是纯虚数，求；
(2)若，求．
【详解】（1）由题意得，
因为是纯虚数，所以，得．
（2）因为，所以，得．
故．
14．已知复数，其中为虚数单位，.
(1)若为实数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值.
【详解】（1）若为实数，
则有，得或.
（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，
则，得.
15．已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
【详解】（1）∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
（2）∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.