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高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算教案
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这是一份高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算教案，共5页。
教学基本信息
课题
7.2.2复数的乘、除运算
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书《数学》必修第二册
出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。
过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
情感、态度与价值观目标：培养类比思想和逆向思维；通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
教学重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。
教学难点：复数除法的运算法则。
教学方法：探究法。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
各位同学，大家好。今天这节课我们将探讨复数的乘法、除法运算。经过前面的学习，我们了解了复数的概念，以及复数加减法运算及其几何意义。复数的加法和减法法则，类似多项式的加减法，是将复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。从几何意义的角度出发，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
通过上节课的探究，我们发现，复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么，复数的乘除运算，是否也有这个规律呢？接下来让我们一起来探究一下。
复习复数的加减法运算及其几何意义相关知识，通过复数加减法运算与实数运算的对比，引出复数乘除法的运算法则。
新课
（一）复数的乘法法则：
我们规定，复数的乘法法则如下：
设，那么他们的积
根据复数的乘法法则，请同学们思考一下问题：
问题（1）：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？
通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。
问题（2）：当都是实数时，与实数乘法法则一致吗？
根据法则，我们发现，当时，都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致。
问题（3）：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法?
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。
（二）复数乘法的运算律
复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的运算律呢？复数的乘法满足交换律、结合律、分配律。以为例，让我们一起验证。
设，
根据乘法的运算法则：
所以，
同理可证，
（三）复数的除法法则
与复数减法法则的推导方法类似，我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，利用复数的加法法则，推导出了复数的减法法则。现在我们依据，复数的除法是乘法的逆运算，利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则。即把满足的复数，叫做复数的商。
计算，得到，
计算，得到，，
由复数相等的定义，得，联立以上两个等式，
解这个二元一次方程组，用加减消元法比较简单，最终解得。
以上，就是复数除法法则的探究过程。
设，复数的除法法则是：
，由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。
说明：在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，即
这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。
与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则。同时培养学生类比的核心素养。
引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律。培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深。
通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则。渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系。
例题
（一）复数的乘法对应例题
例，计算
分析：复数的乘法，类似于多项式乘法，从左到右进行计算。
解：
例，计算
分析：可以利用复数的乘法法则计算，也可以用与实数系相对应的乘法公式计算
解：
（二）复数的除法对应例题
例，计算
分析：先将除法化成分式的形式，在进行分母实数化运算。
解
例，在复数范围内解下列方程
及时运用新的理论知识，进行应用和巩固练习，让学生体验成功。使学生实现从掌握知识到运用知识的转化。
在计算的过程中，锻炼学生的计算能力，培养学生的数学运算的核心能力。
在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。分层教学，让不同能力水平的学生学有所得。
总结
（1）复数代数形式的乘法法则：
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。
（2）复数代数形式的除法法则：
在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，将分母“实数化”。
通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解。引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。
作业
1.计算：
2.计算：
3.计算：
4.在复数范围内解下列方程：
课后巩固，
知识升华。
教学基本信息
课题
7.2.2复数的乘、除运算
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书《数学》必修第二册
出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。
过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
情感、态度与价值观目标：培养类比思想和逆向思维；通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
教学重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。
教学难点：复数除法的运算法则。
教学方法：探究法。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
各位同学，大家好。今天这节课我们将探讨复数的乘法、除法运算。经过前面的学习，我们了解了复数的概念，以及复数加减法运算及其几何意义。复数的加法和减法法则，类似多项式的加减法，是将复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。从几何意义的角度出发，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
通过上节课的探究，我们发现，复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么，复数的乘除运算，是否也有这个规律呢？接下来让我们一起来探究一下。
复习复数的加减法运算及其几何意义相关知识，通过复数加减法运算与实数运算的对比，引出复数乘除法的运算法则。
新课
（一）复数的乘法法则：
我们规定，复数的乘法法则如下：
设，那么他们的积
根据复数的乘法法则，请同学们思考一下问题：
问题（1）：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？
通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。
问题（2）：当都是实数时，与实数乘法法则一致吗？
根据法则，我们发现，当时，都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致。
问题（3）：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法?
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。
（二）复数乘法的运算律
复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的运算律呢？复数的乘法满足交换律、结合律、分配律。以为例，让我们一起验证。
设，
根据乘法的运算法则：
所以，
同理可证，
（三）复数的除法法则
与复数减法法则的推导方法类似，我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，利用复数的加法法则，推导出了复数的减法法则。现在我们依据，复数的除法是乘法的逆运算，利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则。即把满足的复数，叫做复数的商。
计算，得到，
计算，得到，，
由复数相等的定义，得，联立以上两个等式，
解这个二元一次方程组，用加减消元法比较简单，最终解得。
以上，就是复数除法法则的探究过程。
设，复数的除法法则是：
，由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。
说明：在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，即
这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。
与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则。同时培养学生类比的核心素养。
引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律。培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深。
通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则。渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系。
例题
（一）复数的乘法对应例题
例，计算
分析：复数的乘法，类似于多项式乘法，从左到右进行计算。
解：
例，计算
分析：可以利用复数的乘法法则计算，也可以用与实数系相对应的乘法公式计算
解：
（二）复数的除法对应例题
例，计算
分析：先将除法化成分式的形式，在进行分母实数化运算。
解
例，在复数范围内解下列方程
及时运用新的理论知识，进行应用和巩固练习，让学生体验成功。使学生实现从掌握知识到运用知识的转化。
在计算的过程中，锻炼学生的计算能力，培养学生的数学运算的核心能力。
在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。分层教学，让不同能力水平的学生学有所得。
总结
（1）复数代数形式的乘法法则：
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。
（2）复数代数形式的除法法则：
在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，将分母“实数化”。
通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解。引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。
作业
1.计算：
2.计算：
3.计算：
4.在复数范围内解下列方程：
课后巩固，
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