人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质复习练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质复习练习题，文件包含人教A版必修一高一数学上册同步重点通关练习卷15函数奇偶性的应用原卷版docx、人教A版必修一高一数学上册同步重点通关练习卷15函数奇偶性的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；
对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；
对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；
对于D，为奇函数，所以D不符合题意．故选：C．
2．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
3．符号函数是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为若定义在上的奇函数，当时，，则的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称.当时，，
结合的奇偶性，作出的大致图象如下图所示，根据的定义可知，选项C符合题意.
故选：C
4．若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.
5．对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若函数的定义域为，的图象既关于原点对称又关于轴对称，则，可得，因此，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的充要条件．故选：C.
6．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，
又当时，在上单调递增，所以，则有，解得.
故选：C
7．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得在上单调递增，且，因为，
所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A
8．已知函数是定义域为R的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】是定义在R上的偶函数，且在区间，上单调递增，若，则不等式等价为，即，即，故不等式的解集为：.故选：B．
9．若定义在上的奇函数在单调递减，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为定义在上的奇函数在单调递减，则函数在上为减函数.
且，当时，由可得，则；
当时，由可得，则.
综上所述，不等式的解集为.故选：C.
10．已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】∵定义域为的偶函数在上单调递减，且，，且在上单调递增，，可得或或，即或或，即.
故选：D.
11．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．或
【解析】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，
因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，
故选：B
12．设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【解析】为奇函数，；又在上单调递增，，在上单调递增，；，即；当时，，；当时，，；的解集为或.故选：D.
13．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．3
【解析】由题设，，可得，则，又为偶函数，则，可得，综上，，故.
故选：D.
14．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，
所以 ，即，故令 ，则，
所以，令，则，故D正确；
取函数，则，故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，而， ，说明A,B,C错误，故选：D.
二、多选题
15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的单调递增区间为（-1，0），（1，+）
C．当时，D．的解集为（-，-1）（1，+）
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，故A错误；因为函数在都是增函数，所以函数在是增函数，又，则当时，，当时，，当时，，当时，，则函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+），故B正确；当时，则，，所以当时，，故C正确；若，则或，所以或，即不等式的解集为，故D错误.故选：BC.
16．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，D．，，使得
【解析】由①知函数为偶函数；由②知，函数在上单调递减；
则函数在上单调递增；对于A，，故A正确；
对于B，，则，解得，故B错误；
对于C，若，由题知，则当时，，解得；当时，，解得，故C正确；对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，故D正确；故选：ACD
17．设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的单调递增区间为D．为偶函数
【解析】因为等式的解为或所以的解集为，的解集为或，所以，所以对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，当时，，当时，，所以的值域为，故正确；
对于C选项，当时，在区间上单调递增，当时，函数为常函数，所以的单调递增区间为，故正确；
对于D选项，函数图像关于对称，其图像向左平移一个单位得图像，此时图像关于对称，即关于轴对称，故为偶函数，故正确.
故选：BCD
三、填空题
18．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的表达式是________．
【解析】时，，，所以．
故答案为：．
19．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________．
【解析】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.故答案为：.
20．函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．
【解析】因为，时，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，且，所以在上单调递减，且.当时，不等式，得；当时，不等式，得.综上，不等式的解集为.故答案为：
21．设是定义在上的奇函数，且，则___________.
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以，所以.故答案为：1.
22．函数是偶函数，且它的值域为，则__________．
【解析】为偶函数，所以，即或，
当时，值域不符合，所以不成立；当时，，若值域为，则，所以.故答案为：.
23．写出一个能说明“若函数为奇函数，则”是假命题的函数：_________.
【解析】由题意，为奇函数且，则满足题意故答案为：
24．已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数________.
【解析】根据解集易知： ，
为偶函数，可得：则有：
易知的两根为，则根据韦达定理可得：解得： 故答案为：
25．若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．
【解析】设，则，，由为奇函数，可得，
故当，，对称轴方程为，所以时，，
设是在上的“倒值区间”，则值域为，所以，即，
所以在上单调递减，，即，
解得，所以函数在上的“倒值区间”为.故答案为：；
四、解答题
26．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）由，得，且，所以的定义域为，关于原点对称，所以.又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
27．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)当时，求函数的解析式；
(2)解不等式．
【解析】(1)当时，则，又是偶函数，故；
(2)当时，单调递增，时，单调递减，且函数为偶函数，
故，即．化简得，解得，
故不等式的解集为.
28．已知函数f（x）的图像关于原点对称，当时，.
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)求函数f（x）的单调区间.
【解析】(1)∵函数f（x）的图像关于原点对称.∴.
当时，，又时，，
∴当时，.
∴
(2)当时，函数的图像开口向下，对称轴为直线，
∴函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，+∞）上单调递减.
又∵函数f（x）的图像关于原点对称，∴函数f（x）的单调递减区间为；
单调递增区间为.
29．设偶函数且
(1)求实数的值；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增．
【解析】(1)是偶函数，，即，解得
(2)证明：由（1）知，当时，，设任意，则
，，，
即，在区间上单调递增．
30．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补充完整函数的图象；
(2)根据图象写出使的x的取值集合；
(3)求出函数在R上的解析式．
【解析】(1)由题图及是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：
(2)由所得函数图象知：使的x的取值集合为.
(3)∵函数是定义域为R的奇函数，∴，
当时，，则，
综上，.
31．已知函数是上的偶函数
(1)求实数的值，判断函数在上的单调性（不必证明）；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【解析】(1)若函数是上的偶函数，则．
即，解得．所以．函数函数在上单调递减．
(2)由（1）知函数在上单调递减，又函数是上的偶函数，
所以函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，在上为减函数．
又，所以，．
32．已知函数是定义在R上的偶函数，且.
(1)求实数a､b的值，并用定义法证明函数在上是增函数；
(2)解关于t的不等式.
【解析】(1)因为函数是定义在R上的偶函数，∴恒成立，
即，∴，，∴.综上，，.
证明：因为，，任取，，使得，
所以.
又，∴，，，，∴，
∴，即，∴在上为增函数.
(2)∵，∴，∵是定义在R上的偶函数，∴，
∵当时，，结合（1）可得在上单调递增，.
∴，即，∴.故不等式的解集为.
33．已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.
(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；
(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.
【解析】(1)因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，
又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，
此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数,故m＝0.
(2)f（x）＝x|x﹣1|＋n＝ 所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在上单调递减，
其中，，
令得，，所以时，，.
时，所以，
因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为.
34．已知函数，函数为R上的奇函数，且.
(1)求的解析式：
(2)判断在区间上的单调性，并用定义给予证明：
(3)若的定义域为时，求关于x的不等式的解集.
【解析】(1)由题意可知，即，解之得，则，经检验，符合题意.
(2)在区间上单调递增.设任意，且，
则
由，且，可得
则，即故在区间上单调递增.
不等式可化为
等价于，解之得故不等式的解集为.