高中数学人教A版 (2019)必修 第一册幂函数课后复习题

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一、单选题
1．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是( )
A．B．C．D．
【解析】当时，幂函数为增函数；当时，幂函数为减函数，故在上单调递减，、和在上单调递增，从而A错误；由奇函数定义可知，和不是奇函数，为奇函数，从而BC错误，D正确.故选：D.
2．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【解析】幂函数为偶函数，，且为偶数，则实数，故选：C
3．已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．16C．D．
【解析】由题意得，解得，所以，故,故选：D
4．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为偶函数D．为减函数
【解析】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；故选：C
5．已知函数是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得：解得：．故选：B
6．已知，则函数的图像不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A
7．“”是“幂函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由，即，解得或，当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数；
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，所以充分性成立；
反之：幂函数，则满足，解得或或，
当时，，此时函数为偶函数；当时，，此时函数为偶函数，
当时，，此时函数为奇函数函数，综上可得，实数或，即必要性成立，
所以“”是“幂函数为偶函数”的充要条件.故选：C.
8．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【解析】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件，故选：A
9．2021年5月11日，国家统计局发布第七次全国人口普查公报（第二号），公报显示截止2021年5月11日，全国总人口数为人．如果到2049年5月11日全国总人口数超过16亿，那么从2021年5月11日到2049年5月11日的年平均增长率应不低于（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设增长率为，则，.故选：D
10．已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.故选：B
二、多选题
11．下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A： 函数 是偶函数，在 上是增函数，故A正确；
对于B： 函数 是奇函数，故B错误；
对于C： 是偶函数，在 上是增函数，故C正确；
对于D： 是偶函数，在 上是减函数，故D错误.
故选：AC
12．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ ）
A．B．C．D．3
【解析】对于A，当时，定义域为，不符合题意，故选项A不正确；
对于B，当时，的定义域为且为奇函数，故选项B正确；
对于C，当时，的定义域为且为偶函数，故选项C不正确；
对于D，当时，的定义域为且为奇函数，故选项D正确；故选：BD.
13．若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，故选：BD.
14．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为减函数
C．若，则
D．若，则
【解析】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，
∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；
时，，选项C正确；
∵函数是上凸函数，∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.故选：AC.
15．已知函数的图像经过点，则下列结论正确的有（ ）．
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
【解析】将点代入函数得：，则，所以，显然在定义域上为增函数，所以B正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确.
当时，，即，所以C正确.
若时，=
=.即成立，所以D正确.故选：BCD
16．已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点B．的图象关于原点对称
C．单调递减区间是D．在内的值域为
【解析】将点代入，可得，则，因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称, 单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.故选：BD.
三、填空题
17．已知幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，写出一个满足条件的__________.
【解析】可取，则函数为，函数在区间上是严格增函数，且为奇函数，即图象关于原点成中心对称，所以可取.故答案为：1.（答案不唯一）
18．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
【解析】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，
又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-3
19．已知幂函数是奇函数，则___________.
【解析】由题意得，∴或1，当时，是偶函数；
当时，是奇函数.故答案为：1.
20．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．请写出一个在上单调递增且图象关于y轴对称的函数：________________．
【解析】∵函数在上单调递增且图象关于y轴对称，∴函数可为.
故答案为：.
21．试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③在定义域内是单调增函数．则函数的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．
【解析】根据题意可取函数，函数的定义域和值域都是，又，所以函数在上递增，所以函数的解析式可以是.故答案为：.（答案不唯一）
22．写出一个具有性质①②③的函数______．
①定义域为；②在单调递增；③．
【解析】的定义域为，在区间递增，且，
所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）
23．已知，，，则的大小关系为_______．
【解析】函数在R上递增，，则，函数为偶函数且在单调递增，，则，综上，.故答案为：.
24．设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
【解析】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题
25．已知幂函数的图象经过点．
(1)求的解析式；
(2)设，（i）利用定义证明函数在区间上单调递增．
（ii）若在上恒成立，求t的取值范围．
【解析】(1)设，则，得，所以．
(2)（i）由（1）得．任取，，且，
则
．
因为，所以，，所以，即．
所以函数在上单调递增．
（ii）由（i）知在单调递增，所以在上，．
因为在上恒成立，所以，解得．
26．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记的值域分别为集合，设，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）由幂函数的定义得：，解得或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，符合题意；
综上可知：.
（2）由（1）得：，
当时，，即.
当时，，即，
由是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数的取值范围为.
27．已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数a的值；
(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明
【解析】(1)由条件可知，所以，即，，
因为是奇函数，所以，即，
满足是奇函数，所以成立；
(2)由（1）可知，在区间上任意取值，且，
，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
28．已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
【解析】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，所以，解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
29．已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
【解析】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；综上所述，.
（2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
30．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.
(1)求的值；
(2)当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】(1)由幂函数定义，知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，因此.
(2)当时，的值域为，则集合，
由题意知 ，得，解得.
31．已知幂函数，且在区间上单调递减.
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减.
【解析】（1）因为幂函数，在区间上单调递减，
所以，解得或，所以，定义域为.
（2）由（1）知函数，
设，则
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递减.