人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的标准方程教案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的标准方程教案设计，共7页。教案主要包含了创设情境，引入新课，总结归纳，形成定义，应用举例,及时评价，类比研究,推导方程，去伪存真,知识运用，提炼升华，课堂小结，课后作业，承上启下等内容，欢迎下载使用。
一、创设情境，引入新课
教师：将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转一周，笔尖形成的轨迹是什么？
学生：动手在黑板上进行演示，画出圆.
教师：将一条长度大于两定点之间的距离的绳子的两端固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖一周，得到的轨迹是什么？
学生：拿出提前准备好的工具，同桌合作在白纸上画.
设计意图：以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画圆、椭圆，给学生一个动手实验的机会，让学生经历知识的形成过程，积累感性经验，通过实践思考，为进一步上升到理论认识做好准备
二、总结归纳，形成定义
教师：椭圆的图形我们已经画出，下面我们应该研究什么了？
学生：椭圆上的点所满足的条件以及椭圆的定义.
教师：我们选择其中一个椭圆，考虑椭圆在形成的过程中，哪些量没有变？哪些量变了？
学生：笔尖到两个定点的距离和没有变，都等于绳长两个定点之间的距离也没有变，但笔尖的位置在变化.
教师：我们能类比圆的定义（平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆）给出椭圆的定义吗？
教师继续追问:那如果定长小于呢?
学生:不可能.
教师:对!此时的轨迹不存在.因此平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于的点的轨迹为椭圆;
当常数等于时,点的轨迹为线段;
当常数小于时,点的轨迹不存在.
由此得出椭圆的定义:如果是平面内的两个定点,是一个常数,且,则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆.
设计意图:（1）在概念的理解上,先突出“和”,在此基础上再完善“常数”的取值范围,在变化的过程中学会用联系与发展的观点看问题;(2)结合几何画板演示,形象直观地说明定义中的必备条件,体会数学的理性与严谨.
教师:椭圆的定义中,我们需要注意哪几个关键词?
学生:（1）平面(大前提);
（2）任意一点到两个定点的距离的和等于常数;
（3）常数大.
教师:我们把两个定点称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距.
三、应用举例,及时评价
用定义判断下列动点的轨迹是否为椭圆.
（1）到的距离之和为4的点的轨迹；
（2）到的距离之和为2的点的轨迹;
（3）到的距离之和为1的点的轨迹.
学生:口答问题.
设计意图:运用反馈调节机制,及时评价,激励学生的学习热情.
四、类比研究,推导方程
教师:继续回忆圆的研究过程,知道了椭圆的定义后,下面我们要研究什么了?（先请学生思考教材第124页“尝试与发现”栏目,让学生独立思考,得出结论,然后再请学生观看微课,回忆当时是如何研究圆的.微课内容:复习研究圆的标准方程的基本方法:建系、设点、列式、化简、证明(可省略))
教师:下面我们就要求椭圆的方程了.第一步是建系.下面四种建系方式,哪一种针对求椭圆的标准方程比较好?
学生:图（1）的建系方式比较好,可以设椭圆的两个焦点为.
设计意图:激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究椭圆找到了方法与策略.㮋圆方程不止一种,建立的坐标系不同,椭圆方程的表达形式也不同,让学生学会怎样建系可以使㮁圆的方程更简洁.在研究圆的微课中提前渗透根据对称建系,方程更简洁．
教师:第二步是?
学生:设点,设为椭圆上的任意一点.
教师:第三步?
学生:列式.将条件式代数化,得.
教师:那第四步呢?
学生:化简.
教师:圆的方程涉及一个根号,所以我们采用直接平方去掉根号即可,那现在这个式子含有两个根号,直接平方好化简吗?试一下！
教师：前后四人作为一个小组合作交流一下，看看怎么办？交流完成后，选一个小组代表来表达一下小组的观点.
学生：两个根号在一侧不好化简，可以给这个式子变下形转化成我们熟悉的一个根号的问题再化简，即移项.
教师：那试一下是否可以？
设计意图：通过小组合作突破难点“怎么化简带根号的式子”学生会提出两种方法：一、直接将根式平方；二将其中一个根式移项再平方，这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点，教师引导，发现以上提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.
学生：各自在练习本上自行化简.
教师：在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出一位学生的推导过程投影展示出来，并请学生本人作简要陈述.
教师:观察的系数以及常数项,考虑怎样能让方程更简洁?
学生:两边同除以.
教师:怎样还能让方程更简洁?
学生:更简洁?
教师:我们在哪里见过?
学生:勾股定理中有.
教师:所以我们可以令得椭圆的方程为,该方程称为焦点在轴上的椭圆的标准方程.
设计意图:通过比较,得出最简洁的方程,而不是被动地接受教材或教师强加给的方法,使学生完全成了学习的主人,由被动地接受变成主动地获取.在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到㖄练,渗透数形结合的数学思想并感受㮁圆的对称美,方程的简洁美.
教师:在直角三角形中有勾股定理,即,你能在下面的图中找出表示的线段吗?
设计意图:对照图形加以引导,数形结合让学生明白方程中字母的几何意义,对方程的理解有很大的作用.
学生:.教师:所以说我们令是有一定的几何意义的.
教师:如果椭圆的焦点在轴上,那椭圆的方程又如何?
(方法一)焦点坐标变为,重复推导过程,布置为作业.
(方法二）由学生动手列式,,引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异,从而用类比的方法得到焦点在轴上䧎圆的标准方程为,这个方程称为焦点在轴上的椭圆的标准方程.
设计意图:利用类比、对称的思想让学生体会问题的本质所在,只是位置不同,图形是一致的,得出焦点在轴上的椭圆的标准方程,避免繁杂计算.
五、去伪存真,知识运用
焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程:
教师:1.椭圆的标准方程中三个参数有怎样的关系?2.如何从椭圆的标准方程中判断椭圆焦点的位置?
学生:小组讨论.
学生总结方程特征:.
2.哪个变量下的分母大,焦点就在哪个坐标轴上.
设计意图:通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析,强化对椭圆方程的理解,有助于教学目标的实现,培养学生的总结归纳能力,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后面双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.
教师:记忆这两个方程可以类比直线的截距式方程.本节课我们对类比思想的运用可以说是无处不在,相信以后再学习双曲线和抛物线时,你们完全可以自己类比学习了.
教师:你们能借助于已知条件求椭圆的标准方程吗?请做一下下面的例题.
例1 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:
（1）两个焦点分别是,椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8;
（2）两个焦点分别是,并且椭圆经过点.
例2 已知是平面内的两个定点,,且平面内的周长等于18,求这个三角形的顶点的轨迹方程.
教师:引导学生审题,先让学生思考,然后请学生板演.
学生:思考、板演,其他学生点评(关于例1学生大部分用定义法).
教师:对于例1,类比圆的方程的求法,你还有其他的解法吗?
学生：待定系数法，简述过程.
教师：对比例1与例2，先让学生思考两种条件的不同，然后引导学生建系解决问题，并提示学生注意点A的轨迹不是一个完整的椭圆.
学生：建系，利用定义解题.
设计意图：通过例1展示求椭圆标准方程的两种方法：定义法和待定系数法；例2的设置目的在于引导学生思考具体问题时，要考虑题干中的隐含条件，同时要在坐标系中考虑问题，突出标准方程中的“标准”二字.
六、提炼升华，课堂小结
1.本节课学习的主要知识是什么？
2.求椭圆的标准方程的常用方法是什么？
3.本节课涉及了哪些数学思想方法？
答：一个定义（椭圆的定义）；两种方法（定义法和待定系数法）；三种数学思想（数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想）
七、课后作业，承上启下
书面作业：
1.教材第128页练习A第2，3，4题.
2.教材第128页练习B第1，2，3题研究性作业：
3.教材第127~128页“拓展阅读”.
设计意图：为后续学习做好铺垫，为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.
板书设计
教学研讨
本节内容在教学设计上注重知识的产生过程，构思巧妙，设计合理，逻辑性很强，基本上体现了“学生为主体”的思想，把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来.
尽管有例2，但标准方程中的“标准”二字似乎还没有讲透，除了补充要以对称性为原则建系外，还可以适当进行拓展，比如设置问题：方程什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？能表示圆吗？等等.
2.5.1 椭圆的标准方程
一、创设情境,引入新课
二、总结归纳,形成定义
如果是平面内的两个定点,是一个常数,且,则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆.
我们把两个定点称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距
三、应用举例,及时评价
四、类比研究,推导方程
焦点在轴上时,
焦点在轴上时,
五、去伪存真,知识运用
例1
例2
六、提炼升华,课堂小结
一个定义(椭圆的定义);两种方法(定义法和待定系数法);三种数学思想(数形结合思想;转化化归思想;分类讨论思想）
七、课后作业,承上启下