人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案

椭圆的标准方程

【学习目标】

1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养．

2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．

【学习重难点】

1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．（重点）

2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．（重点）

3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．（难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．椭圆的定义

（1）定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．

（2）相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．

2．椭圆的标准方程

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（    ）

（2）椭圆＋＝1的焦点坐标是（±3,0）．（    ）

（3）＋＝1（a≠b）表示焦点在y轴上的椭圆．（    ）

2．以下方程表示椭圆的是（    ）

A．x2＋y2＝1

B．2x2＋3y2＝6

C．x2－y2＝1

D．2x2－3y2＝6

3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点（0,2）的椭圆的标准方程是（    ）

A．＋＝1

B．＋＝1

C．＋＝1或＋＝1

D．＋＝1或＋＝1

4．椭圆＋＝1的左、右焦点F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝_________．

三、合作探究

类型1：求椭圆的标准方程

【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．

（1）两个焦点坐标分别是（0,5）、（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．

（2）经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．

（3）过（－3,2）且与＋＝1有相同的焦点．

类型2：椭圆的定义及其应用

【例2】设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

类型3：与椭圆有关的轨迹问题

【例3】如图，圆C：（x＋1）2＋y2＝25及点A（1,0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．

【学习小结】

1.平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a．

2.求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．

3.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），因为它包括焦点在x轴上（m＜n）或焦点在y轴上（m＞n）两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．

【精炼反馈】

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（    ）

A．5 B．6

C．7 D．8

2．到两定点F1（－2,0）和F2（2,0）的距离之和为4的点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．线段

C．圆 D．以上都不对

3．椭圆＋＝1的焦距为_________．

4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长是_________．

5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a>b>0）的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是_________．