高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的标准方程教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的标准方程教案，共6页。教案主要包含了情境引人，实验探究，类比推理，例题研讨，归纳小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
板书设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境引入
认识椭圆
问题1：运动场跑道是不是椭圆形？鸡蛋是不是椭圆形？
问题2：椭圆的定义是什么？
教师：地球的运行轨道是椭圆，探月卫星在飞向月球之前经历了多次椭圆轨道的飞行.百姓家庭之中，茶几的桌面可能是椭圆形的，盘子也可能是椭圆形的.
教师：提出问题1.
学生：思考问题1.
教师：提出问题2.
学生：思考问题2.
教师：历史上，人们最初对椭圆的认识是从圆柱和圆锥开始的.用一个平面斜截一个圆柱或圆锥，所得平面的边缘称为椭圆.从这个认识来看，跑道是椭圆吗？鸡蛋是椭圆吗？
学生：都不是
教师：一个圆柱形茶杯装了一定体积的水，稍微倾斜所得水平面的边缘是椭圆吗？为什么？
学生：是椭圆，可以把水平面看成是平面斜截圆柱所得的截面，则水平面边缘是椭圆.
教师：根据椭圆的这个认识，你能判断地球运行的轨道是椭圆吗？
学生：思考并回答.
教师：人们发现，椭圆不仅存在于圆柱、圆锥面上，更是自然界物体运动的普遍形式，所以可以从运动的角度重新定义椭圆.
创设情境将对椭圆的感性认识上升为理性认识，从直观几何转化为解析几何.
实验探究
定义椭圆
实验探究：取一条定长的细绳，若把细绳两端拉开一段距离，分别固定在画板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
问题3：结合所画图像，观察椭圆两定点的距离与椭圆的圆扁程度有什么关系？并思考：若把绳子的两端拉直，则所画图像会是什么？
问题4：应该如何完善椭圆的定义？
椭圆的定义：如果是平面内的两个定点，a是一个常数，且，则平面内满足
的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距.
问题5：如何建立坐标系更好？使得方程更简洁
问题6：圆的方程最简洁的形式是什么？此时圆与坐标系的关系是什么？
问题7：从椭圆的画法中，你能发现椭圆有哪些对称性？
问题8:如何化简以下式子?
.
方法一:移项两边平方法.
方法二:直接两边平方法.
问题观察下图,你能找到表示,的线段吗?
教师：给出椭圆定义：平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹称为椭圆.下面，我们利用实验探究将椭圆定义具体化.
学生：完成实验探究并展示成果——所画图像为椭圆.
教师：成果分析，提出问题3.
学生：思考问题3并回答，两定点的距离越大，椭圆越扁；把绳子两端拉直，则所画图像是线段.
教师：多媒体动画展示并分析线段上每一点到两端点的距离之和也是定值，提出问题4.
学生：思考问题4并完善定义，常数2a应大于.
教师：强调椭圆定义的关键要素（两定点、距离和、常数2a大于）及介绍椭圆的焦点、焦距.
教师：上一节课，我们学习了求曲线方程的步骤，有哪些呢？
学生：建系、设点、列式、化简、证明，五个步骤.
教师：提出问题5.
学生：思考问题5.
教师：我们可以类比一下圆的方程与坐标系的关系.
教师：提出问题6.
学生：思考并回答问题6，圆心在原点时，圆的方程最简洁，此时圆关于x轴、y轴、原点都对称.
教师：提出问题7.
学生：思考问题7，师生共同进行图像分析并得出结论：椭圆关于两定点所在直线对称，关于线段的垂直平分线对称，且两对称轴交点是椭圆对称中心.
教师:以两对称轴为坐标轴建立坐标系,设点,列式,并提出问题.
学生:尝试化简.
教师:师生共同利用两种方法化简得:. = 1 \* GB3 ①
教师:提出问题9.
学生:思考并回答.
教师:令,则 = 1 \* GB3 ①式可化为:. = 2 \* GB3 ②
教师:从上述过程可以看到,椭圆上任一点的坐标都满足方程 = 2 \* GB3 ②;以方程 = 2 \* GB3 ②的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为,即以方程 = 2 \* GB3 ②的解为坐标的点都在椭圆上,则方程 = 2 \* GB3 ②为椭圆的方程.
教师:谈对"标准”的理解:方程形式最简洁,字母都有几何意义.
教师:的特征有哪些?
学生:思考并回答上述问题.
学生动手，培养学生直观想象和数学抽象核心素养.
让学生通过探究活动，更好地理解椭圆的定义，体会画椭圆的方法及定义中的关键要素.
类比圆的方程最简形式与坐标系的关系，根据椭圆的对称性选择最佳建系方法推导椭圆的方程，进而更好地理解标准方程之“标准”所在.
在推导方程过程中，利用两种常用的方法，引导学生在化简时要注意分析式子的结构特征，选择对应的化简方法，提高运算能力.
类比推理
分类讨论
问题10：如果焦点在y轴上，原点为两焦点的中点，则椭圆的标准方程是什么？
问题11：观察两种标准方程的式子，如何判断焦点所在坐标轴？
教师:提出问题10.
学生:利用类比的方法,得到椭圆的标准方程:.
教师:提出问题11.
学生:哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.
总结椭圆标准方程的特征，明确椭圆的标准方程与焦点的对应关系.
例题研讨
学以致用
例1分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:
（1）两个焦点分别是,,椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8;
（2）两个焦点分别是,4),并且椭圆经过点.
解 （1）由已知得,因此.
又因为,所以
从而点在以为焦点的椭圆上,而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和,又焦距,因此,从而
.
因此点的坐标必须满足,再注意到因为是三角形,所以三点不能共线,因此可知点的轨迹方程为
.
教师出示例1，引导学生分析已知条件，求满足条件的椭圆的标准方程.
学生思考、讨论、交流解题思路，完成解答过程.
通过求满足条件的椭圆的标准方程，让学生掌握根据已知条件求椭圆标准方程的方法，提升学生的数学运算核心素养.
归纳小结
明晰重点
1.椭圆的定义,焦点、焦距的概念.
2.椭圆的两种标准方程:
；
.
教师引导学生分组回答，小组评价.
锻炼学生
的知识归纳能力.
布置作业
教材第128~129页练习A，练习B.
学生课后完成，教师批阅.
巩固新知.
2.5.1椭圆的标准方程
一、情境引人
二、实验探究
1.椭圆的定义
如果是平面内的两个定点,是一个常数,且,则平面内满足
的动点的轨迹称为椭圆,其中,两个定点称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距
2.椭圆的标准方程
焦点在轴上的椭圆的标准方程:
三、类比推理
焦点在轴上的椭圆的标准方程:
四、例题研讨
例1
例2
五、归纳小结
1.椭圆的定义，焦点、焦距的概念
2椭圆的两种标准方程
六、布置作业