人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的几何性质教案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的几何性质教案，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
一、本节内容分析
本节课属于“平面解析几何”这一章的第二部分椭圆锥曲线,它是继学生学习了直线和椭圆的方程,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究具体的曲线方程及其性质.从知识上讲,椭圆的标准方程是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲,它为我们研究双曲线、抛物线这两种椭圆锥曲线提供了基本模式和理论基础:从教材编排上讲,本节内容处于解析几何这一章的中部,更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用,使几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本节中得到了充分体现.
本节包含的核心知识及所体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力！从学习心理上看,学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平.如何给椭圆以数学描述,如何“定性”“定量”地描述椭圆,是学生关注的问题也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心态是学生学好本节课的情感基础.
学情补充_____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.椭圆及其标准方程
2.椭圆的几何性质(1)
3.椭圆的几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其几何性质
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程
3.运用标准方程研究椭圆的几何性质,并运用性质解决相关问题.
【教学策略设计】
在本节课的备课和教学过程中,为学生的动手实践、自主探索与合作交流的机会搭建平台,鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题解决问题,通过恰当的教学方式指导学生学会自我调适,自我选择.学生虽然对椭圆图形有所了解,但只限于感性认识,缺少理性的思考、探索和创新,这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.
在教学手段上,通过探究式、问题式教学方法充分利用现实情境,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性,利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源,生动活泼的展示图形,强调学生动手操作试验和主动参与,注重提升学生直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.椭圆的定义及椭圆的标准方程
2.椭圆的简单几何性质.
难点
1.利用标准方程解决相关问题,
2.解决与椭圆的性质有关的坐标问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:椭圆规、多媒体课件、_________________________________________
2.其他材料_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程,请同学们回忆椭圆的标准方程是怎样的?它们有几种形式?
生:有两种形式,它们分别是:
(1)焦点在x轴上:+=1(a>b>0)
(2)焦点在y轴上:+=1(a>b>0)
师:根据曲线的方程研究其几何性质,并正确地画出图形,是解析几何研究的基本问题之一.那么,在学习了椭圆的标准方程之后,接下来该研究什么?
生:利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质.
师:我们可以从哪些方面研究椭圆的性质?先看下面的问题.
【设情境 巧探究】
教师提出问题,学生回忆前一节所学的椭圆的标准方程.通过对前一节内容的复习,引出课题.从方程的角度,通过坐标法研究椭圆的几何性质是本节课的主线,为后面内容的展开埋下伏笔.
【情景设置】
探究椭圆的几何性质
已知椭圆C的方程为+y2=1,根据这个方程完成下列任务:
(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征;
(2)指出椭圆C是否关于x轴、轴、原点对称;
(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.
【以学定教】
通过具体实例和教师的适时引导,调动学生参与椭圆几何性质讨论的积极性,培养逻辑推理、理性思维的能力,突出重点,化解难点.
师:怎样通过方程得到x与y的范围?
生:因为实数的平方是一个非负数,所以在方程+y2=1中,必有0≤≤1.即−2≤x≤2,同理可得−1≤y≤1.
师:由x与y的范围我们能得到椭圆在坐标系中有什么位置特征?
生:椭圆C位于直线x=−2,x=2,y=−1,y=1所围成的矩形内,如图所示.
师:由方程如何得椭圆的对称性?
生:如果(x,y)是方程+y2=1的一组解,则易得(−x,y),(x,−y),(−x,−y)都是方程的解,这说明椭圆C关于y轴、x轴、坐标原点对称,这也可以从图中看出来.
师:怎样得到椭圆C与坐标轴的交点?
生:在方程+y2=1中,令y=0,得x=−2或x=2,可知椭圆C与轴有两个交点,交点坐标分别为(−2,0),(2,0);令x=0,得y=−1或y=1,可知椭圆C与y轴也有两个交点,交点坐标分别为(0,−1),(0,1).
师:如果椭圆C的标准方程是+=1(a>b>0),请你根据方程写出椭圆的几何性质.
【自主学习】
引导学生从方程出发,用代数方法研究椭圆的范围、对称性、顶点这几个问题:同时鼓励学生给出代数证明,逐步形成运用代数方法研究思考几何问题的思维模式,深化数形结合思想.
生:根据前面的研究过程,易得:
(1)范围:−a≤x≤a且−b≤y≤b.
(2)对称性:关于y轴、x轴、坐标原点对称.
(3)与坐标轴的交点为A1(−a,0),A2(a,0),B1(0,−b),B2(0,b).
师:因此,x轴、y轴是椭圆C的对称轴,坐标原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.椭圆C与它的对称轴共有4个交点,即A1,A2和B1,B2,这四个点都称为椭圆的顶点.得到线段A1A2,B1B2,分别称为椭圆的长轴和椭圆的短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别称为椭圆的长半轴长和短半轴长.显然,椭圆的两个焦点在它的长轴上,如果设椭圆的焦距为2c,则c是椭圆的半焦距.你能说出a,b,c之间的关系吗?
生:a²=b²+c².
师:从这三者数量上看可以得出什么结论?
生:长度为a,b,c的三条线段构成一个以a为斜边的直角三角形
师:从图上看可以得出什么结论?
生:以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及坐标原点为顶点的三角形是一个直角三角形,而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示.
【概括理解能力】
通过对具体椭圆的标准方程的研究,获得椭圆的几何性质,进而推广到一般,帮助学生进一步体会数形结合的思想方法,发展学生的概括理解能力以及数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
师:请同学们在纸上画出一个椭圆,同桌之间互相观察,你们画出的椭圆形状相同吗?
生:不同,有的接近于椭圆,有的则相对扁一些.
师:椭圆的扁圆程度实际上跟椭圆的离心率有关.椭圆离心率的定义是什么?
生:一般地,椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率,用e表示,即e=.
师:你能根据椭圆离心率的定义,判断椭圆离心率的取值范围吗?
生:因为a>c>0,所以00),那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中,哪些与焦点在x轴上的椭圆是有区别的?
生:与坐标系有关的性质不同,如范围、顶点、焦点不同,只需将+=1(a>b>0)的有关性质中的横坐标x和纵坐标y交换,就可以得出+=1(a>b>0)的相关性质.关于离心率,由公式可得不会发生变化.
【归纳总结】
椭圆的几何性质
【概括理解能力】
用提问的方式引导学生思考,并自主探究焦点在y轴上的椭圆的几何性质,进而发现椭圆的几何性质可以分为两类:一类是与坐标系无关的性质,如对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率:另一类是与坐标系有关的性质,如范围、顶点、焦点.培养学生的概括理解能力.
师:请同学们自学教材第132页例1,说一说已知椭圆方程求椭圆的性质时要注意的问题
【少教精教】
教师请学生自学教材例题,通过少教精教发现求解椭圆性质时的注意事项.
【典型例题】
椭圆几何性质的应用
例1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率:
(1)+=1
(2)8x2+3y2=24.
生:通过例1(1),我认为在已知椭圆方程求椭圆的性质时,要首先判断焦点所在的位置,再求相关性质:通过例1(2)要注意先将方程化为标准方程,再求解.
师:回答正确,下面进行一组巩固练习.
【设活动 深探究】
师生共同探究了椭圆的范围、对称性、顶点和离心率这些几何性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础.归纳知识,有利于学生理清知识脉络,加强学生对性质的理解,为后面应用打下基础.
【巩固练习】
椭圆的几何性质
1.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
2.判断:(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a.( )
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1.( )
生解:1.∵a2=4+22=8,∴a=2.∴e===.
答案:C.
2.答案:(1)× (2)×
【自主学习】
通过自主学习、巩固练习,学生先解决简单基础的问题,进而在教师的引导下对问题进行较深入的分析,发挥学生自主学习的主观能动性,促进学生思维的发展.
师:下面进一步解决关于求椭圆几何性质的例题.
【典型例题】
椭圆几何性质的应用
例2 已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
【典型解析】
椭圆几何性质的应用
(1)由椭圆C1:+=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为(6,0),(−6,0),离心率e=.
(2)椭圆C1:+=1.性质如下:
①范围:−8≤x≤8且−10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点坐标:(0,10),(0,−10),短轴端点坐标:(−8,0),(8,0);④焦点坐标:(0,6),(0,−6);⑤离心率:e=.
【分析计算能力】
通过例2巩固本节课所学内容,加深对长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标等一系列概念及其关系的理解,体会椭圆的一类几何性质是椭圆自身固有的,与坐标系的选取无关.通过解题提升分析计算能力.
师:下面进行巩固练习.
【巩固练习】
椭圆的几何性质
求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
生解:由已知得+=1(m>0),因为0b>0)与椭圆有相同的长轴,椭圆(a>b>0)的短轴长与的短轴长相等,则( )
A.a2=15,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
解析:由题意得,椭圆的焦点在x轴上,且a2=25,b2=9.答案:D.
2.(全国卷I)已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.
B.
C.
D.
解析:方法一:如图,由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,∴|AF1|=2a−|AF2|=2n.在△AF1B中,由余弦定理得
.在△AF1F2中,
由余弦定理得4n2+4n2−2·2n·2n·=4,解得n=.
∴2a=4n=2,∴a=,b2=a2−c2=3−1=2,
∴所求椭圆方程为.答案:B
方法二:由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,
由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,
∴|AF1|=2a−|AF2|=2n.
在△AF1F2和△BF1F2中,
由余弦定理得
又∠AF2F1,∠BF2F1互补,
∴cs∠AF2F1+cs∠BF2F1=0,
两式消去cs∠AF2F1,cs∠BF2F1,得3n2+6=11n2,解得n=.
∴2a=4n=2,∴a=,∴b2=a2−c2=3−1=2,
∴所求椭圆方程为.
答案:B
3.过点M(1,1)作斜率为−的直线与椭圆C:(a>b>0)相交于A,B两点,M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为______.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则①,②,
∵M是线段AB的中点,∴,,
∵直线AB的方程是
∴
∵过点M(1,1)作斜率为−的直线与椭圆C:(a>b>0)相交于A,B两点,M是线段AB
的中点,
∴①②两式相减可得,即,
∴a=b,∴c=b
∴.答案:
【综合问题解决能力】
通过随堂检测练习巩固本节所学知识,提升学生综合问题的解决能力,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象的核心素养.
【分析计算能力】
在本节的教学评价中,对练习的分析计算能力要求较高,同时对学生的数学运算等核心素养有较高的要求.
教学反思
本节课作为平面解析几何中的一个重要内容,它研究了圆锥曲线中重要的一种椭圆,通过在平面直角坐标系中建立它的标准方程:运用代数方法进一步认识椭圆的性质:体现形与数的结合,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想:重点提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象核心素养.而数学运算是大部分学生的难点,在本节课的教学中,教师对例题的讲解,要有足够的耐心,让学生亲自经历运算,理清算理,并对运算中的方法和技巧进行适时的总结,方便学生在以后的运算中敢算会算.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果,总结出教学过程中要时刻注重学生的理解程度,让学生感悟平面解析几何中蕴含的数学思想,提升学生的动手运算能力.必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
1.椭圆及其标准方程
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
直观想象
逻辑推理
数学运算
【考查内容】
1.根据几何条件求出椭圆方程
2.椭圆几何性质的应用
【考查题型】
以填空题、选择题、解答题为主
2.椭圆的几何性质(1)
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建摸
3.椭圆的几何性质(2)
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建摸
核心知识
1.椭圆及其标准方程
2.椭圆的几何性质(1)
3.椭圆的几何性质(2)
直观想象 数学抽象
逻辑推理 数学运算
数学建摸
核心素养
定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的动点的轨迹(或集合)称为椭圆
图形
标准方程
(Ax2+By2=1)
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
范围
−a≤x≤a,−b≤y≤b
(或者|x|≤a,|y|≤b)
−b≤x≤b,−a≤y≤a
(或者|x|≤b,|y|≤a)
对称性
关于x轴对称,关于y轴对称,关于坐标原点对称
顶点坐标
A1(−a,0),A2(a,0)
B1(0,−b),B2(0,b)
A1(0,−a),A2(0,a)
B1(−b,0),B2(b,0)
焦点坐标
F1(−c,0),F2(c,0)
F1(0,−c),F2(0,c)
a,b,c之间的关系
a2=b2+c2的几何意义:以椭圆的中心、短轴一个端点和一个焦点为顶点组成的三角形是直角三角形且三边长为a,b,c
离心率
e==(0