数学选修1-1椭圆及其标准方程教案设计

这是一份数学选修1-1椭圆及其标准方程教案设计，共6页。
第一部分：教学背景分析
第一方面：学情分析
在学习本课《椭圆及其标准方程》之前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，并对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，我们可以充分相信：在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，且受高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。如：由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，故从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍
第二方面：教材分析
1．本节课在教材中的地位和作用
《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决二次曲线问题的又一实例。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。
因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。
2．教学目标
根据新课标以及对学生情况和教材的分析，我将本节课教学目标确定为:
知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，并在定义的归纳和方程的推导中体会探索的乐趣；
过程与方法目标：培养学生发现规律、认识规律、运用规律的能力；
情感与态度价值观目标：在定义方程的推导中增强学生主动探求科学知识的热情，体会数学的简洁美，增强学生之间的合作意识。
在对本教学目标的确定中，充分考虑了师生怎样主动与新教材的对课堂教学的新要求相符，如何适应学生终身学习发展的需求。
3．重点与难点
根据以上分析，我将本节课的重点、难点确定为：
重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准方程；
难点：椭圆标准方程的推导。
第二部分：教法与学法设计
在我的教学设计中，主要采用探究式教学方法。即“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。重点体现学生是一个主动的、积极的知识探索者，尽可能的增加学生参与教学活动的时间和思维空间.
在学法上，通过创设问题情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，这正符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来教育”的观点。
第三部分：教学媒体设计
根据我的教学设计，为了提高学生学习兴趣，本节课我将采用多媒体辅助教学，利用多媒体演示图片和自制几何画板动画辅助教学。
第四部分：教学过程设计
在整个教学过程中，我设计了以下五个环节：
第一个环节：认识椭圆，探究规律
首先，教师用多媒体演示行星饶太阳运行的轨道图片。目的是使学生对椭圆有一个感性的认识。
然后，请学生举出所看到有关椭圆的实例，目的是使学生对椭圆的认识能得到进一步加深，同时在学生的举例中也能澄清椭圆与椭球这两个不同的几何图形（如：有同学认为鸡蛋是椭圆形的，实质上它为椭球形的）
再通过演示几何画板动画1，点B是线段AC上一个动点，分别以定点F1、F2为圆心，|AB|、|BC|为半径做圆，观察两圆交点M、N的轨迹。引导学生探求椭圆上点的运动变化的规律，并从直观上认识椭圆。
在演示动画的同时提出问题：
（1）在运动中哪些量是不变的，哪些量是变化的？
（2）能不能把不变的量用数学表达式表达出来？
（3）点M、N是以怎样的规律进行运动的？
（4）利用这个规律能不能画一个椭圆？
椭圆的定义是本节课的重点之一，而本环节正是为了能让学生更容易理解、掌握定义而做的准备工作。
通过动画演示，让学生体会在变化中的变与不变及其内在联系。
通过学生的自主探究，初步对椭圆上的点的特征有一定的了解；反复强调“定点”、“和”、“常数”等词，为定义的归纳做铺垫。
第二个环节：动手实验，亲身体会
在课前要求学生准备直尺、细绳、图钉、笔、纸板，要求学生用上面得到的规律即点M或N到两个定点F1、F2的距离的和是一个常数，指导学生互相合作，体验画椭圆的过程，并以此了解椭圆上的点的特征。请两名同学到黑板上演示画图过程。
在本环节中不急于向学生交代椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生创造一个实验的机会，让学生加深对椭圆上点的运动规律的体会，为下一个环节得到椭圆的定义做准备；二是锻炼学生从理论到实践的转化能力。
第三个环节：归纳定义，完善定义
通过以上两个环节，学生分组讨论互相补充，很容易归纳出椭圆上点的特征：到两个定点的距离的和等于常数，但这作为椭圆的定义还不够完善，因此又提出问题：这个常数是一个任意的常数吗？通过演示动画2， 当两个定点的距离等于线段AC的长度时，轨迹为一条直线，当两个定点的距离大于线段AC的长度时，轨迹不存在，学生很容易得到结论：到两定点间的距离和应大于两定点间的距离，最终完善定义。
得到椭圆的定义之后，我向学生指出定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
到此完成本节课第一个重点内容的讲授。
第四个环节：合理建系，推导方程
本环节主要目的是通过学生独立建立直角坐标系，推导方程，从中选择比较简洁的形式确定为椭圆的标准方程。这是本节课的第二个重点内容，讲授时，我将放弃以往的教师直接讲授的方法，而是让学生自主探究，分组讨论。而我在这个过程中加以引导。
首先提出问题：要想得到椭圆的方程，首先要建立适当的直角坐标系，如何建立坐标系呢？
此时同学会根据以往学习经验确定如下两个方案：
方案1：以F1、F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系
方案2：以F1、F2所在的直线为y轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系
在此，首先肯定学生的方案的正确性，然后请学生求出在方案1的所建立的坐标系下椭圆的方程 (在这里规定线段AC的长度为2a，线段F1F2的长度为2c)，汇报结果。按照方案1会得到的方程：。然后对这个方程进行进一步化简。而化简这个方程是本节课的难点所在，其关键是怎样去掉等式中的根号，通过以下两个问题来突破难点：
（1）化简含有根号的等式时，我们通常采用什么方法？
（2）对于本式是直接平方好呢还是恰当的整理之后再平方好呢？
学生通过实践，发现这个方程直接平方不利于化简，而整理后再平方比较简洁。
通过学生自己计算化简，最后得到椭圆的方程为：，此时通过演示动画3， 当点B运动到AC中点时两圆半径相等，即，而，则，不妨用一个常数来表示，这里我们设这个常数为，因此最终得到椭圆的标准方程：……①。
在这里要向学生指出我们所求出的椭圆的方程是焦点在x轴上的椭圆的方程，而焦点在y上的椭圆的方程的形式与①式相似，只是方程中的x与y互换位置得到……②，我们把①、②两个方程都叫做椭圆的标准方程。
还要指出的是我没所说的标准方程，一定是指焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点的椭圆的方程；在①、②两个标准方程中都有的要求，也就是说焦点在哪个轴上，哪个未知数对应的分母较大。
到此完成本节课的第二个重点内容的讲授，并顺利突破难点。
值得一提的是，我们要想称这个方程为椭圆的方程还需要证明以方程的解为坐标的点都在椭圆上。由于椭圆的方程的化简过程都是等价变形，而证明过程比较繁琐，因此在这里我们没有证明，如果学生有兴趣的话可以课后完成。
第五个环节：应用举例，小结作业
在本环节中给出三个评价性例题，巩固本节课所学知识。
1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆（下各题均为同一平面内的点）。
（1）到点（-2，0）和点（2，0）的距离之和为6的点的轨迹。……（是）
（2）到点（0，-2）和点（0，2）的距离之和为4的点的轨迹。……（不是）
（3）到点（-2，0）和点（2，0）的距离之和为3的点的轨迹。……（不是）
2.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是多少？
（3，+∞）
3.已知椭圆的方程为，则两焦点的坐标为：
在小结中由学生总结本节课在知识上的收获，老师根据学生的总结做适当的补充、归纳、点评。
最后将教材第42页练习A第2题（1）（3）、第3题、第4题做为作业以巩固本节课所学知识。
第五部分：板书设计
根据课堂教学要求，板书设计如下。
第六部分：评价设计
本课设计了3个评价性的例题，来检测学生对椭圆的定义及方程的理解和掌握情况，其中第1题是检测学生对椭圆定义的掌握情况，第2、3题是检测学生对椭圆方程的掌握情况。可根据学生回答的具体情况，了解学生对本课重点知识的掌握程度，在课后安排适当的习题加以巩固练习。
以上是我对椭圆及其标准方程第一课时的构思与设计，请各位专家批评指正。
谢谢大家！§2.1.1 椭圆及其标准方程
一.定义：…………………… ……………………………
…………………… ……………………………
二.标准方程： ……………………………
推导过程………………… ……………………………
…………………………… ……………………………
…………………………… 标准方程…………………
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