人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程一等奖ppt课件

2.5　椭圆及其方程

2.5.1　椭圆的标准方程

知识点1　椭圆的定义

(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．

(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．

1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

[提示]　2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

1．设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆　　　　　 B．线段

C．不存在 D．椭圆或线段

A　[因为m＞2，所以m＋＞2＝4，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．]

知识点2　椭圆的标准方程

2．确定椭圆标准方程需要知道哪些量？

[提示]　a，b的值及焦点所在的位置．

3．根据椭圆方程，如何确定焦点位置？

[提示]　把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．

2．(1)以下方程表示椭圆的是(　　)

A．x2＋y2＝1　　　　　 B．2x2＋3y2＝6

C．x2－y2＝1 D．2x2－3y2＝6

(2)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________．

(1)B　(2)2　[(1)只有B符合椭圆的标准方程的形式．

(2)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF2|＝6－|PF1|＝6－4＝2．]

类型1　求椭圆的标准方程

【例1】　(对接教材人教B版P126例1)根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．

(2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．

(3)过(－3，2)且与＋＝1有相同的焦点．

[解]　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：＋＝1(a＞b＞0)．

∵2a＝26，2c＝10，∴a＝13，c＝5．

∴b2＝a2－c2＝144．

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．

(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，

又椭圆经过点P，∴＋＝1，

解得b2＝3，∴a2＝4．

∴椭圆的标准方程为＋＝1．

(3)由方程＋＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝．

设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3，2)，代入方程为＋＝1(a＞b＞0)，

解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，

故椭圆的标准方程为＋＝1．

利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．

提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．

[跟进训练]

1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；

(2)经过点P，Q．

[解]　(1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12，

且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1．

(2)法一： ①当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意，有

解得

因为a＞b＞0，所以方程组无解．

②当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

依题意，有解得

所以所求方程为＋＝1．

法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，依题意得解得

故所求方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1．

类型2　椭圆的定义及其应用

【例2】　设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

1．如何求△ABC的面积？

[提示]　S△ABC＝ah或S△ABC＝absin C．

2．如何用集合语言描述椭圆的定义？

[提示]　P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}．

[解]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，

∴c＝，2c＝5．

在△PF1F2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①

由椭圆的定义，得10＝|PF1|＋|PF2|，

即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②

②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，

所以|PF1|·|PF2|＝25，

所以S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．

1．本例中△F1PF2称为椭圆的焦点三角形．

2．焦点三角形的常用公式

(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．

(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2．

(3)设P(xP，yP)，则焦点三角形的面积S＝c|yP|＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2tan．

[跟进训练]

2．设P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是椭圆的焦点，设∠F1PF2＝α，求证：△F1PF2的面积S＝b2·tan．

[证明]　∵P在椭圆上，

∴|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2．①

在△F1PF2中，

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝|F1F2|2＝4c2．②

①－②得2(1＋cos α)|PF1||PF2|＝4(a2－c2)＝4b2．

∴|PF1||PF2|＝，

∴S＝|PF1||PF2|sin α＝＝b2·＝b2tan．

类型3　与椭圆有关的轨迹问题

【例3】　如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．

[解]　由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，

|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|．

∴|CM|＋|MA|＝5．

∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，

焦点为C(－1，0)，A(1，0)，

∴a＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝－1＝．

∴所求轨迹方程为＋＝1．

求解与椭圆相关的轨迹问题的方法

[跟进训练]

3．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

 [解]　如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，

由题意动圆M内切于圆C1，

∴|MC1|＝13－r．

圆M外切于圆C2，

∴|MC2|＝3＋r．

∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，

∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，

且2a＝16，2c＝8，

b2＝a2－c2＝64－16＝48，

故所求轨迹方程为＋＝1．

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8

D　[由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8．]

2．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．线段

C．圆   D．以上都不对

B　[|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2．]

3．椭圆＋＝1的焦距为________．

8　[由方程得a2＝32，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝16．

∴c＝4，2c＝8．]

4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是______．

16　[由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，△ABF2的周长等于|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝16．]

5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是________．

＋＝1　[|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，

∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．平面内到两个定点F1，F2的距离之和为常数的动点M的轨迹一定是椭圆吗？

[提示]　不一定．

|MF1|＋|MF2|＝2a，

．

2．如何判断椭圆的焦点位置？

[提示]　判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．

3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？

[提示]　椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．