高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程第1课时学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程第1课时学案，共11页。学案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导，求简单的椭圆的标准方程等内容，欢迎下载使用。

第1课时 椭圆的标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
导语
同学们，椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，比如大家的水杯，稍微倾斜一点时，水面是椭圆形的，比如大家所熟知的嫦娥系列探测器，它们是按照椭圆形的运行轨迹绕月飞行，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础，就让我们开始今天的探究之旅．
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
知识梳理
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆．
反思感悟 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
答案 ②
解析 ①eq \r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
(2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线
答案 B
解析 连接EA，∵CD垂直平分AB，
∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，
则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|，
故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.
二、椭圆的标准方程的推导
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)＋eq \r(x－c2＋y2)＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得eq \r(x＋c2＋y2)＝2a－eq \r(x－c2＋y2).②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4aeq \r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝aeq \r(x－c2＋y2)，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
知识梳理
注意点：(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
三、求简单的椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1.))
所以所求的椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)
＝2eq \r(10)，即a＝eq \r(10)，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4.))
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
跟踪训练2 (1)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝9，,0＋\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝18，,b2＝9，))
故椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为________________．
答案 eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
解析 依题意，c＝4，且焦点在y轴上，
又∵2a＝10，∴a＝5，
∴b2＝a2－c2＝9，
故所求的椭圆方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
1.知识清单：
(1)椭圆的定义．
(2)椭圆的标准方程．
(3)椭圆定义及标准方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：
(1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视；
(2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
答案 D
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
答案 A
解析 c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴eq \f(2,k)>2，故04．动点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－22＋y2)＋eq \r(x＋22＋y2)＝8，则点P的轨迹为________________．
答案 椭圆
解析 设A(2,0)，B(－2,0)，则eq \r(x－22＋y2)表示|PA|，
eq \r(x＋22＋y2)表示|PB|，又|AB|＝4，
所以|PA|＋|PB|＝8>4，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
课时对点练
1．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标是( )
A．(±5,0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12,0)
答案 C
解析 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12)．
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为( )
A．－1 B．1 C.eq \r(5) D．－eq \r(5)
答案 B
解析 原方程可化简为x2＋eq \f(y2,\f(5,k))＝1，
由c2＝eq \f(5,k)－1＝4，得k＝1.
3．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
答案 D
解析 依题意2c＝6,2a＝10，
即a＝5，c＝3，b＝4，
但该椭圆的焦点位置不明确，
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.
4．P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案 A
解析 由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(7)，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝eq \f(40－28,2×12)＝eq \f(1,2)，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
5．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案 AC
解析 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．
6．(多选)使方程eq \f(x2,m＋1)＋eq \f(y2,5－m)＝1表示椭圆的m的值可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．0
答案 BCD
解析 ∵方程eq \f(x2,m＋1)＋eq \f(y2,5－m)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>0，,5－m>0，,m＋1≠5－m，))解得－17．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析 由已知2a＝8,2c＝2eq \r(15)，得a＝4，c＝eq \r(15)，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
8．设P为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
答案 9
解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|PF1|·|PF2|≤eq \f(|PF1|＋|PF2|2,4)＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号．
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解 (1)由焦距是4可得c＝2，
且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(32＋2＋22)＋eq \r(32＋2－22)＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，
又c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1或eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
10．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，其方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠－2)．
11．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±eq \f(3,4) B．±eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),4)
答案 D
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴eq \f(±32,12)＋eq \f(y2,3)＝1，
即y2＝eq \f(3,4)，∴y＝±eq \f(\r(3),2).
∴点M的纵坐标为±eq \f(\r(3),4).
12．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±eq \r(m－n)) B．(±eq \r(n－m)，0)
C．(0，±eq \r(n－m)) D．(±eq \r(m－n)，0)
答案 C
解析 化为标准方程为eq \f(x2,－n)＋eq \f(y2,－m)＝1，
因为m－n>0.
所以焦点在y轴上，且c＝eq \r(－m－－n)＝eq \r(n－m).
所以焦点坐标是(0，±eq \r(n－m))．
13．已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，则点M到x轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(6),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
答案 C
解析 由eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，得MF1⊥MF2，
可设|eq \(MF1,\s\up6(—→))|＝m，|eq \(MF2,\s\up6(—→))|＝n，
在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2，
得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，
所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，
所以＝eq \f(1,2)·mn＝1，
设点M到x轴的距离为h，则eq \f(1,2)×|F1F2|×h＝1，
又|F1F2|＝2eq \r(3)，故h＝eq \f(\r(3),3).
14．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
15．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于B(0,2)，且eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \r(2)＋4，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
答案 C
解析 由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，
所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4eq \r(2)＋4，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2，,ac＝4\r(2)，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝8，b2＝4，c2＝4.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
16．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq \f(4\r(5),3)和eq \f(2\r(5),3)，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝eq \f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq \f(2\r(5),3)，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(5)，即a＝eq \r(5).
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴．
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝eq \f(60,9)，
∴c2＝eq \f(5,3)，∴b2＝a2－c2＝eq \f(10,3).
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(3y2,10)＝1或eq \f(3x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1.焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
a，b，c的关系
a>b>0，a>c>0，a2＝b2＋c2