人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程多媒体教学课件ppt

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1.掌握椭圆的定义;2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;3.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程.
基础落实·必备知识全过关
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集合表示{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且　　　　　　,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的　　　　,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的　　　　.
过关自诊1.到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是(　　)A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对
2.椭圆的定义中,若2a≤|F1F2|,则动点P的轨迹还是椭圆吗?
解析 ∵点P到两定点的距离之和为14,等于|F1F2|,∴轨迹是一条线段.
解 不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
名师点睛1.在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意a>b>0这个条件.2.焦点三角形中常用的关系式(1)|PF1|+|PF2|=2a.
(3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2.(4)|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|.
过关自诊1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是(　　)
2.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(　　)
3.[人教A版教材习题]如果椭圆 =1上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是　　　　　.
探究点一　椭圆定义的理解
【例1】 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,故动圆圆心P的轨迹方程为
规律方法　利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
变式训练1[北师大版教材习题]如图,两个定圆圆C1和圆C2内切,且半径分别为r1=1,r2=3,动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,那么动圆圆心M的轨迹是什么?并说明理由.
解 设动圆M半径为R,因为圆M与圆C1外切,所以|MC1|=1+R.又因为圆M与圆C2内切,所以|MC2|=3-R,所以|MC1|+|MC2|=4.又圆C1和圆C2内切,所以|C1C2|=2.所以动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆(除掉圆C1和圆C2的切点).
变式训练2[北师大版教材例题]已知△ABC的周长为10,且|BC|=4,则△ABC的顶点A的轨迹是什么?并说明理由.
解 因为△ABC的周长为10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|.根据椭圆的定义可知,△ABC的顶点A的轨迹是以B,C为焦点,焦距长为4的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点).
探究点二　求椭圆的标准方程
角度1.待定系数法求椭圆的标准方程【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
∵椭圆过点A(-1,-2),
规律方法　1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 =1(a>b>0);如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 =1(a>b>0);如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.2.待定系数法求椭圆方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养.
角度2.定义法求椭圆的标准方程【例3】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是
解 因为椭圆的焦点在y轴上,
规律方法　用定义法求椭圆的标准方程,先根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
变式训练4已知椭圆两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26,求满足条件的椭圆的标准方程.
因为2a=26,所以a=13,又因为c=5,所以b2=a2-c2=144,
探究点三　椭圆定义的应用
【例4】 已知P为椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs 60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②由①②得|PF1||PF2|=4,
变式探究若将例4中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
规律方法　1.椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.2.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2.
变式训练5(1)P是椭圆 =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1||PF2|=12,则∠F1PF2的大小为(　　)A.60°B.30°C.120°D.150°
∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.
(2)已知F1,F2为椭圆 =1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=　　　　　. 
解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20.又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
(3)[人教A版教材习题]如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 =10,那么点M的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程.
解 点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.∵点M(x,y)到两定点(0,-3),(0,3)的距离之和为10,且大于两定点间的距离6,
1.已知椭圆C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作直线交椭圆C于A,B两点,则三角形ABF2的周长为(　　)A.10B.15C.20D.25
解析 由题意知a=5,由椭圆定义知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.故选C.
2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　)A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)
3.若椭圆x2+ky2=1的焦距为 ,则k的值为　　　　　. 
4.设F1,F2是椭圆 =1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面积为　　　　　. 
解析 由椭圆方程,得a=3,b=2,c= .∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=2c=2 ,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,
5.分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26;