人教B版高中数学选修1 2-5-1《椭圆及其方程课时1-椭圆及其标准方程》教学设计

这是一份人教B版高中数学选修1 2-5-1《椭圆及其方程课时1-椭圆及其标准方程》教学设计，共18页。
《椭圆及其方程》教学设计课时1椭圆及其标准方程一、本节内容分析本节课属于“平面解析几何”这一章的第二部分圆锥曲线,它是继学生学习了直线和圆的方程,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究具体的曲线方程及其性质.从知识上讲,椭圆的标准方程是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲,它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础:从教材编排上讲,本节内容处于解析几何这一章的中部,更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用,使几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本节中得到了充分体现.本节包含的核心知识及所体现的核心素养如下:二、学情整体分析从知识上看,学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.从学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力！从学习心理上看,学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平.如何给椭圆以数学描述,如何“定性”“定量”地描述椭圆,是学生关注的问题也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心态是学生学好本节课的情感基础.学情补充______________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.椭圆及其标准方程2.椭圆的几何性质(1)3.椭圆的几何性质(2)【教学目标设计】1.理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其几何性质2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程3.运用标准方程研究椭圆的几何性质,并运用性质解决相关问题.【教学策略设计】在本节课的备课和教学过程中,为学生的动手实践、自主探索与合作交流的机会搭建平台,鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题解决问题,通过恰当的教学方式指导学生学会自我调适,自我选择.学生虽然对椭圆图形有所了解,但只限于感性认识,缺少理性的思考、探索和创新,这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.在教学手段上,通过探究式、问题式教学方法充分利用现实情境,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性,利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源,生动活泼的展示图形,强调学生动手操作试验和主动参与,注重提升学生直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点 1.椭圆的定义及椭圆的标准方程2.椭圆的简单几何性质.难点 1.利用标准方程解决相关问题,2.解决与椭圆的性质有关的坐标问题.【教学材料准备】1.常规材料:圆规、多媒体课件、_________________________________________2.其他材料_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:在日常生活与学习中,我们可以见到很多有关椭圆的形象,如图.【情景设置】椭圆的引入2020年7月23日,长征五号遥四运载火箭托举着中国首次火星探测任务“天问一号”探测器,在中国文昌航天发射场,点火升空,开启了中国首次火星探测之旅.“天问一号”并不是对着火星直接发射的,而是发射在一个“椭圆”运行轨道上,让它与火星的“椭圆”轨道相遇.我们还知道圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合,圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径,那么你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？【设计意图】利用多媒体,展示“天问一号”的运行轨道,让学生从感性上认识椭圆.通过“天问一号”的相关知识,让学生感受椭圆在科学中的用途,激发学生的学习兴趣,教学精讲探究1 椭圆的定义师:取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么呢？生:是一个圆,师:如果把细绳的两端拉开一段距离(不妨先让绳长大于两定点间距离),分别固定在图板中的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线？生:是一个椭圆.师:在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？生:因为绳子长度不变,也就是笔尖到图板中的两点F1,F2,的距离和不变把动点设为P,则|PF1|+|PF2|等于定值.师:试一试改变图板中的两点F1,F2之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？生:不是,动点的轨迹变为线段F1,F2师:当绳长小于两点F1,F2,之间的距离时,还能画出图形吗？生:不能师:由此我们可以归纳出:平面上满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？生:设动点为P,当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,动点P的轨迹才是椭圆.师:这种作椭圆的方法实际上是验证了椭圆的定义,你能自己归纳椭圆的定义吗？【情景学习】通过创设情境使学生观察、思考、讨论,师生一问一答的互动,概括出椭圆的定义.【以学定教】在“做”中学,通过画椭圆的实验操作,经历概念的形成过程,积累感性经验.同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力,引导学生自主合作探究,变被动为主动.【要点知识】椭圆的定义如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F,F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.师:另外从本章的导语处我们可以看出椭圆也可通过用平面截圆锥面得到,所以椭圆是一种圆锥曲线.师:下面我们针对椭圆的定义进行如下巩固练习,请同学们看PPT,思考后回答问题.【巩固练习】椭圆的定义1.到两个定点F1(−7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对2.到两个定点F1(−7,0)和F2(7,0)的距离之和为12的点P的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对3.到两个定点F1(−7,0)和F2(7,0)的距离之和为16的点P的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对【以学论教】通过动手实践,从几何方面探究确定椭圆的条件,感受数据的变化带来的动点的轨迹的变化,发现确定椭圆的两个条件.生1:到两个定点的距离虽然是定值14,但是它恰好等于这两定点间的距离,不符合椭圆定义,通过画图发现点P的轨迹是线段,所以选B师:距离之和为12呢？生2:比两定点间的距离小,轨迹不是椭圆,也不是线段师:那会是什么呢？生2:在纸上画不出来,所以选D.师:可以用前面学习的求曲线方程的方法,证明这种情况下,点P的轨迹是不存在的.师:第3小题呢？生3:符合椭圆定义,选A.师:通过上面的巩固练习,你可以归纳出“平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹”是什么吗？【学生总结归纳,教师评价后出示多媒体课件】【自主学习】通过随堂巩固练习加深对椭圆定义的辨析和理解,发展学生的数学抽象核心素养.【归纳总结】动点P的轨迹设平面上一动点为P,两个定点F1,F2,则:当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,动点P的轨迹为椭圆;当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段;当|PF1|+|PF2|0),则F1(−c,0),F2(c,0).设点P与两定点F1,F2的距离的和等于2a.(2)写点的集合:由椭圆的定义,椭圆就是集合,即P={P||PF1|+|PF2|=2a}.(3)列式:|PF1|+|PF2|=2a,∴.师:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？【分析计算能力】在推导椭圆的标准方程过程中,通过对运算的分析和优化,引导学生明确运算对象,清楚运算目标,培养学生的分析计算能力和数学运算核心煮养.【学生通过分析对比,最后选择移项平方】生:将两边平方,得,即,两边平方,得a4−2a2cx+c2x2=a2(x−c)2+a2y2,整理,得(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2),两边同除以a2(a2−c2),得,由椭圆的定义知a>c,所以a2−c2>0.【情境学习】通过思考可以让学生进一步明确a,b,c的几何意义,加深对椭圈定义及标准方程的理解.师:请同学观察右图,你能从中找出表示a,c,的线段吗？生:由图可知,|PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,|PO|=,令b=|PO|,即a2−c2=b2(b>0),则方程可简化为b2x2+a2y2=a2b2,整理成=1(a>b>0)【简单问题解决能力】给出椭圆方程运算化简预案,打开学生分析运算的思路,感受运算目标明确带来的运算便利,获得常见的运算技巧,提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.【求椭圆方程运算化简预案如下】(1)列式由|PF1|+|PF2|=2a得,①(2)化简分子分母同乘得,整理得,②①+②得,将两边同时除以2得,③将③式两边平方得(x+c)2+y2=,化简得,∴,同样,因为a>c>0,所以a2−c2>0,令a2−c2=b2,得(a>b>0).④师:从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程④,以方程④的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(−c,0),F2(c,0)的距离之和为2a,即以方程④的解为坐标的点都在椭圆上,由曲线与方程的关系知,方程④是椭圆的方程,我们把它称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.方程(a>b>0)称为椭圆的标准方程,焦点在x轴上,焦点是F1(−c,0), F2(c,0),c2=a2−b2.师:如果以F1,F2所在直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立直角坐标系,焦点是F1(0,−c),F2(0,c),椭圆的方程又如何呢？如果不想重复上述繁琐的化简过程,我们将如何做呢？生:由|PF1|+|PF2|=2a且,得,即将变量x与y互换位置,所以(a>b>0)变为(a>b>0) ,此方程称为焦点在y轴上的椭圆的标准方程.【先学后教】通过研究焦点在x轴上的椭圆的标准方程类比研究焦点在y轴上的椭圆的标准方程,化解难,点,突出重点,提升学生逻辑推理和数学抽象的核心素养师:由以上我们探究椭圆的标准方程如下所示.【要点知识】椭圆的标准方程【自主学习】通过对两个标准方程的总结,加深学生对椭圆标准方程的理解掌握,特别是焦点位置和三个参数的关系,为求解椭圆的相关问题打下基础.师:根据椭圆的标准方程,你能发现椭圆的标准方程有哪些特征？【师生共同探讨后,得出下面结论】生:椭圆标准方程的特征.(1)椭圆标准方程形式左边是两个分式的平方和,右边是1.(2)a>b>0不可少,注意a,b,c的几何意义.(3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.(4)椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系:a2=b2+c2,a最大,b,c大小不定师:下面看一道例题【观察记忆能力】通过学生自由讨论发现、归纳椭圆标准方程的特征,加深对椭圆标准方程的认识,提升学生的观察记忆与概括理解能力.【典型例题】求椭圆的标准方程例1 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(−3,0),(3,0),椭圆上任意一点与两焦点的距离的和等于8;(2)两个焦点的坐标分别是(0,−4),(0,4),并且椭圆经过点(,−);(3)焦点在坐标轴上,且经过(,−2)和(−2,1)两点【简单问题解决能力】通过对例1的解决,培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,提升简单问题解决能力.生解:(1)由已知得2a=8,因此a=4.又因为c=3,所以b2=a2−c2=42−32=7,因为椭圆的焦点在x轴上,所以所求椭圆的标准方程为.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为(a>b>0).由已知得c=4.又因为c2=a2−b2,所以a2=b2+16.因为点(,−)在椭圆上,所以,即.从而有.解得b2=4或b2=−12(舍去).因此a2=4+16=20,从而所求椭圆的标准方程为.师:对于例1中的第(2)问你还有其他的解法吗？生:也可以根据椭圆的定义,由点(,−)与两焦点(0,−4),(0,4)的距离的和等于2a来求出a的值,然后再得到椭圆的标准方程师:回答正确！对于利用定义法求椭圆的标准方程.同学们课后自行证明.现在请继续解决第(3)问.【整体设计 分步落实】同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的解题思路.本题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法.【学生板演做题,教师点评后总结】生解:(3)(方法一)①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为(a>b>0).依题意有解得.故所求椭圆的标准方程为.②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为(a>b>0).依题意有解得.此时不符合a>b>0,所以方程组无解故所求椭圆的标准方程为.(方法二)设所求椭圆的方程为mx2+y2=1(m>0,n>0,且m≠n),依题意有解得.所以所求椭圆的标准方程为.【教师总结】利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:(1)如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为(a>b>0).(2)如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为(a>b>0):(3)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么可以分焦点在x轴上和焦点在y轴上讨论,也可以把方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解师:下面看一道练习题【概括理解能力】通过例1总结用待定系数法求椭圆标准方程的方法,突出重点,培养学生的概括理解能力.【巩固练习】求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(2)两个焦点的坐标分别是(0,−2),(0,2),并且经过,点(−,).【学生独立解题,教师展示答案,学生订正错误】【深度学习】通过跟踪练习巩固待定系数法求椭圆标准方程,通过解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理核心素养.【典例解析】求椭圆的标准方程解:(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为(a>b>0).又椭圆经过,点(0,2)和(1,0),根据椭圆定义可知,a2=4,b2=1,所以所求的椭圆的标准方程为.(2)因为椭圆的焦,点在y轴上,所以设它的标准方程为(a>b>0).由椭圆的定义知,2a=,即a=,又c=2,所以b2=a2−c2=6,所以所求椭圆的标准方程为.师:下面在看一道利用椭圆定义求动点轨迹方程的例题【分析计算能力】数学概念是要在运用中得以巩固的,通过例题使学生进一步理解椭圆的定义,掌握其标准方程,并在解题过程中感受“数形结合”思想的优越性.同时提升分析计算能力.【典型例题】利用椭圆定义求动点轨迹方程例2如图所示,已知动圆P过定点A(−3,0),并且在定圆B:(x−3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.师解:设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(−3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2−c2=42−32=7,故其轨迹方程为.【教师总结】利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤第一步:结合平面图形中的条件转化为动点到两定点的距离和为定常数第二步:判断是否在标准位置,即焦点是否在坐标轴上且关于原点对称第三步:由定义求出基本量a,b,c,进而写出标准方程师:下面同学们通过一组练习来检测本节课所学.【巩固练习】椭圆的标准方程1.已知椭圆的焦点为(−1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A. B. C. D. 2.已知F1,F2为椭圆的两个焦点,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=______.3.椭圆x2+ky2=1的焦距为,则k的值为______.4.设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△F1PF2的面积为______.【教师出示答案,学生改错】【以学论教】通过练习巩固对椭圆标准方程的理解和应用,通过解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.同时也能让教师及时掌握学生的课堂学习效果,以便高效解决问题.【简单问题解决能力】本节的巩固练习能够有效地调动学生的积极性,提升学生的简单问题解决能力.【巩固练习】椭圆的标准方程1.解:c=1,由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,∴b2=a2−c2=4−1=3,故椭圆的方程为.答案:A2.解:由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.答案:83.解:将椭圆x2+ky2=1转换为标准形式为,当焦点在x轴上时,c2=1−,即2c=2=,解得k=2,当焦点在y轴上时=1,即c2=−1, 即2c=2=,解得k=答案:2或4.解:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=.∵|PF1|+|PF2| =2a=6且|PF1|:|PF2|=2:1,∴|PF1|=4,|PF2|=2.∵|PF1|2+|PE2|2=|F1F2|2.∴△F1PF2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×2×4=4.答案:4.师:这节课就上到这里,通过这节课你学到了哪些知识？【自主学习】学生自主解答课堂巩固练习,并根据教师正确答案主动订正错误,体现在课堂上学生自主学习的主观能动性.【课堂小结】椭圆及其标准方程1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程4.用椭圆的定义求动点的轨迹方程【设计意图】通过课堂小结,让学生进一步归纳、巩固本节所学内容,提高学生的概括理解能力,培养学生的数学抽象等核心素养.教学评价学生在本节课中经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质,进一步体会数形结合的思想,了解椭圆的简单应用.【设计意图】学生在已掌握椭圆的定义及标准方程之后,反过来利用椭圆的标准方程研究其几何性质.学习过程中灵活运用椭圆的定义、方程、性质解题,使学生理解、体会解析几何这门学科的核心研究方法,培养学生的解析几何观念,提高学生的数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.根据所学知识,完成下面各题.1.已知椭圆(a>b>0)与椭圆有相同的长轴,椭圆(a>b>0)的短轴长与的短轴长相等,则( )A.a2=15,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9解析:由题意得,椭圆的焦点在x轴上,且a2=25,b2=9.答案:D.2.(全国卷I)已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )A.B.C.D.解析:方法一:如图,由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,∴|AF1|=2a−|AF2|=2n.在△AF1B中,由余弦定理得.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2−2·2n·2n·=4,解得n=.∴2a=4n=2,∴a=,b2=a2−c2=3−1=2,∴所求椭圆方程为.答案:B方法二:由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,∴|AF1|=2a−|AF2|=2n.在△AF1F2和△BF1F2中,由余弦定理得又∠AF2F1,∠BF2F1互补,∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,两式消去cos∠AF2F1,cos∠BF2F1,得3n2+6=11n2,解得n=.∴2a=4n=2,∴a=,∴b2=a2−c2=3−1=2,∴所求椭圆方程为.答案:B3.过点M(1,1)作斜率为−的直线与椭圆C:(a>b>0)相交于A,B两点,M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为______.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则①,②,∵M是线段AB的中点,∴,,∵直线AB的方程是∴∵过点M(1,1)作斜率为−的直线与椭圆C:(a>b>0)相交于A,B两点,M是线段AB的中点,∴①②两式相减可得,即,∴a=b,∴c=b∴.答案:【综合问题解决能力】通过随堂检测练习巩固本节所学知识,提升学生综合问题的解决能力,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象的核心素养.【分析计算能力】在本节的教学评价中,对练习的分析计算能力要求较高,同时对学生的数学运算等核心素养有较高的要求.教学反思本节课作为平面解析几何中的一个重要内容,它研究了圆锥曲线中重要的一种椭圆,通过在平面直角坐标系中建立它的标准方程:运用代数方法进一步认识椭圆的性质:体现形与数的结合,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想:重点提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象核心素养.而数学运算是大部分学生的难点,在本节课的教学中,教师对例题的讲解,要有足够的耐心,让学生亲自经历运算,理清算理,并对运算中的方法和技巧进行适时的总结,方便学生在以后的运算中敢算会算.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果,总结出教学过程中要时刻注重学生的理解程度,让学生感悟平面解析几何中蕴含的数学思想,提升学生的动手运算能力.必备知识学科能力学科素养高考考向1.椭圆及其标准方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象逻辑推理数学运算【考查内容】1.根据几何条件求出椭圆方程2.椭圆几何性质的应用【考查题型】以填空题、选择题、解答题为主2.椭圆的几何性质(1)数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建摸3.椭圆的几何性质(2)数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建摸核心知识1.椭圆及其标准方程2.椭圆的几何性质(1)3.椭圆的几何性质(2)直观想象 数学抽象逻辑推理 数学运算数学建摸核心素养焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>b>0)(a>b>0)图形焦点坐标F1(−c,0),F2(c,0)F1(0,−c),F2(0,c)a,b,c之间的关系b2=a2−c2