高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的几何性质教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册椭圆的几何性质教学设计及反思，共9页。教案主要包含了情境引入，合作探究，完善认知，典例剖析，总结提升，课后作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境引入
引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.
师：上节课，我们利用椭圆的定义（是什么？）画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.
学生活动：回忆、思考、口答.
设计意图：通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.
师：除了利用定义外，你能根据椭圆方程画出它的简图吗？
学生活动：在坐标纸上尝试画出椭圆，展示自己的作品，让其他学生欣赏，点评，交流.
设计意图：中学数学教育的首要任务是培养数学直观通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容，通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法.
二、合作探究
问题1:一般地,以椭圆 = 1 \* GB3 ①为例,你准备研究它的哪些性质?如何研究?
学生活动:自主探究,感知“几何性质”研究的方向和方法,得出结论,说明理由.
探究我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢?
方法提炼:通过观察方程的形式特点,由方程构造不等式,体现了研究几何问题的“代数”方法,其实质是:已知,求的取值范围.
（1）范围.
由方程 = 1 \* GB3 ①可知且,因此
且.
这说明,椭圆位于直线所围成的矩形内,如图所示.
探究2:椭圆具有怎样的对称性?能否用代数法说明?
方法提炼:图形对称的本质是点的对称:
对于曲线上任意一点也在曲线上图形关于轴对称.
（2）对称性.
如果是方程 = 1 \* GB3 ①的一组解,则不难看出,,,都是方程的解,这说明椭圆关于轴、轴、坐标原点对称,如上图所示.
因此,轴、y轴是椭圆的对称轴,坐标原点是对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心,目前我们只讨论中心在原点的椭圆.
探究3:研究曲线上的某些关键点,可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点?
方法提炼:顶点是曲线与对称轴的交点,类比迁移二次函数图像的顶点.
（3）顶点.
顶点:椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点.
顶点坐标:.相关概念:线段称为椭圆的长轴,线段称为椭圆的短轴,它们的长分别等于和分别称为椭圆的半长轴长和半短轴长,是椭圆的半焦距.
几何意义:长度分别为的三条线段构成一个直角三角形,且长度为的线段是斜边,这就说明,以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形,而且短轴端点与焦点的连线长为.
设计意图:根据上一环节的讨论,让学生自己列出探究的问题(内容)目录,然后自主思考,相互交流,探究结论.教师适当点拨引导,深化认识.范围和对称性的探究,经历了由直观(图形)、推理(数量)、抽象(性质)的思维过程;顶点概念的建立,则是先直观、后类比、再建模,体现了研究问题的方法论思想.
练一练:椭圆的长轴长为_____,短轴长为_____,顶点坐标是_____.
学生活动:准确计算,熟练回答.
设计意图:由方程得性质,体现了本节课的重要知识点和研究方法的基本应用,以及练习的反馈和诊断功能.
探究4:请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆.
学生活动:列表描点,结合性质,精画椭圆.
设计意图:再画椭圆,让学生体验利用性质画图的必要性和有效性,另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.
问题观察所画椭圆和,它们在形状上有什么显著不同?
问题 = 1 \* GB3 ①这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的?
= 2 \* GB3 ②你能说出两个比更“扁”的椭圆吗?
= 3 \* GB3 ③是不是方程中的都改变,椭圆的圆扁程度一定发生变化?
= 4 \* GB3 ④你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”?
= 5 \* GB3 ⑤除了利用基本量之间的关系,还有其他类似的关系式来刻画吗?
借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆,提供直观支持.
（4）离心率.
= 1 \* GB3 ①离心率的概念.
一般地,椭圆的半焦距与半长轴长之比
称为椭圆的离心率.
= 2 \* GB3 ②对椭圆的圆扁程度的影响.
因为,所以.
另外,注意到
.
这说明越趋近于1,则的值越小,因此椭圆越扁;反之,越趋近于0,则的值越大,这时椭圆就越接近于圆.
学生活动:直观观察,小组讨论,合作交流,形成结论:离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化(观察)、原因剖析(推理）数学刻画(对应、建立模型(抽象)的思维活动过程.
并在探究过程中阐明以下事实:
（1）可行性:用比值和都可以刻画椭圆“圆扁”程度;离心率相同的椭圆均相似;
（2）一致性:.
设计意图:明确开放的问题,使学生体会到引入离心率的目的;由到符合学生的认知特点;教师利用几何画板动态演示,使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养.
三、完善认知
师：请你写出焦点在y轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.
学生活动:类比研究椭圆的方向、方法,自主归纳出焦点在轴上的椭圆的几何性质,并体会椭圆本身的性质与坐标系的选择无关.
设计意图:通过填表,一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过的椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解;另一方面,通过类比已有知识和方法,归纳得出焦点在轴上的椭圆的几何性质,发展学生的思维能力.
四、典例剖析
例1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率:
（1）;
（2）.
解 （1）由可知这个椭圆的焦点在轴上,且,因此长轴长,半短轴长.
又因为,即.因此,椭圆的焦点坐标为
.
离心率
，
（2）已知椭圆的方程可化为
，
由可知这个椭圆的焦点在轴上,且,因此长轴长,半短轴长.
又因为,即.因此,椭圆的焦点坐标为
.
离心率
.
例2 已知椭圆的焦点为,短轴的一个端点为,且是一个等边三角形,求椭圆的离心率.
解 因为,所以依据题意可知
从而有
.
例3 已知椭圆的左焦点为,且是椭圆上的一点,求的最小值与最大值
解 记椭圆的焦距为,则,而且
设,则
，
又因为是椭圆上一点,所以,即,
因此
.
注意到,而且,所以,当时,最小,且最小值为
；
当时,最大,且最大值为
.
例3 说明,椭圆上的所有点中,到给定焦点距离最大和最小的点,分别是长轴的两个端点.
例4 航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为,近地点与地球表面的距离为,设地球的半径为,试用表示出地球同步转移轨道的离心率.
解 设椭圆的半长轴长为,半焦距为,依照题意可知
解得,因此离心率
.
师生互动:学生口答例1、例2,教师引导学生共同探讨并独立解答例3、例4,教师板演,强调书写的逻辑性和规范性,同时加深对椭圆几何性质的应用和理解.
设计意图:由性质求方程,让学生进一步体会曲线与方程之间的关系,“形”与数”的关系.例3与例4的设计意在提升学生逻辑推理与数学运算及数学抽象等核心素养.
五、总结提升
结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有代么收获.
1.知识:椭圆的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.
2.方法:
3.思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等.
4.经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验.
六、课后作业
1.思考：教材第133页“探索与研究”.
2.教材第134~135页练习A，练习B.
板书设计
2.5.2椭圆的几何性质
一、情境引入
二、合作探究
椭圆的几何性质:
（1）范围:且
（2）对称性:关于轴、轴、坐标原点都对称
（3）顶点:,b)
（4）离心率:
三、完善认知
四、典例剖析
例1
例2
例3
例4
五、总结提升
六、课后作业