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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程第2课时学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程第2课时学案，共13页。学案主要包含了椭圆的方程的设法，椭圆定义的应用，相关点代入法求点的轨迹方程等内容，欢迎下载使用。
一、椭圆的方程的设法
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2\r(5),5))).
(2)求过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程；
(3)已知椭圆的中心在原点，过点(eq \r(5)，－2)，和(0,2eq \r(2))，求椭圆的标准方程．
解 (1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>n>0)，焦距为2c0.
由题意有c0＝1，|PF1|＝eq \r(9＋\f(4,5))＝eq \f(7\r(5),5)，
|PF2|＝eq \r(1＋\f(4,5))＝eq \f(3\r(5),5)，
有m＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,2)＝eq \f(\f(7\r(5),5)＋\f(3\r(5),5),2)＝eq \r(5)，
n＝eq \r(5－1)＝2，
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k<9)，
将点(eq \r(3)，－eq \r(5))代入，可得eq \f(－\r(5)2,25－k)＋eq \f(\r(3)2,9－k)＝1，
解得k＝5(k＝21舍去)，
故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
(3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m，n>0)，
椭圆过点(eq \r(5)，－2)，和(0,2eq \r(2))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5m＋4n＝1，,8n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,10)，,n＝\f(1,8)，))
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,8)＝1.
反思感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点，且经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))；
(2)经过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，－\f(\r(3),2)))两点．
解 (1)椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点坐标为(±1,0)，
∵椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
∴2a＝eq \r(1＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＋eq \r(1－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝4，
∴a＝2，b＝eq \r(3)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
把Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，－\f(\r(3),2)))两点代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＋\f(1,2)n＝1，,2m＋\f(3,4)n＝1，))解得m＝eq \f(1,8)，n＝1，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋y2＝1.
二、椭圆定义的应用
例2 椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,100)＝1 B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,400)＋eq \f(y2,336)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,12)＝1
答案 B
解析 已知两个焦点的坐标分别是F1(－8,0)，F2(8,0)，
可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝8，
由椭圆的定义可得2a＝20，即a＝10，
由a，b，c的关系解得b＝eq \r(a2－c2)＝6，
∴椭圆方程是eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1.
延伸探究
1．若P是方程eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上的任意一点，F1(－8,0)，F2(8,0)，若|PF1|＝5，则|PF2|＝________.
答案 15
解析 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
故|PF2|＝15.
2．1中若|PF1|∶|PF2|＝3，求|PF1|，|PF2|的值．
解 由|PF1|＋|PF2|＝20和|PF1|＝3|PF2|，可知|PF1|＝15，|PF2|＝5.
3．1中△PF1F2的周长是多少？是否与P的位置有关？
解 周长l＝2a＋2c＝36，与P的位置无关．
反思感悟 如果平面内一点的轨迹满足椭圆的定义，首先要明确焦点的位置，然后利用定义解决问题，其好处是“设而不求”．
跟踪训练2 已知椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m等于( )
A．5 B．10 C．15 D．25
答案 D
解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
由椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,16)＝1可知，椭圆的焦点在x轴上，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25.
三、相关点代入法求点的轨迹方程
例3 点B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0＋2a,2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2a，,y0＝2y，))
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)．
又点B(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，
∴eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，从而有eq \f(2x－2a2,a2)＋eq \f(2y2,b2)＝1.
整理得动点M的轨迹方程为eq \f(4x－a2,a2)＋eq \f(4y2,b2)＝1.
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)．
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程．
(4)化简方程得所求方程．
跟踪训练3 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MQ,\s\up6(→))，则动点M的轨迹方程是( )
A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1
C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9
答案 B
解析 设动点M(x，y)，Q(m，n)，
∵eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MQ,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4＝\f(1,3)m－x，,y＋4＝\f(1,3)n－y，))化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4x＋3，,n＝4y＋3.))
又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，
故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，
即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.
1.知识清单：
(1)椭圆的方程的设法．
(2)椭圆的定义的应用．
(3)相关点代入法求轨迹方程．
2．方法归纳：定义法、待定系数法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在求动点轨迹方程时，易忽略是否有需要删除(或增加)的点．
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于( )
A．1 B．3 C．6 D．10
答案 C
解析 由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.
2．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－3))，则此椭圆的方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1
B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1
D．以上均不正确
答案 A
解析 设经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－3))的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得m＝1，n＝eq \f(1,25)，
∴所求椭圆方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
3．“m＝4”是“椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1的焦距为6”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由当m<5时，焦点在x轴上，
焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝a2－c2＝16，
则m＝±4，
当m>5时，焦点在y轴上，由焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝b2＋c2＝34，
则m＝±eq \r(34)，
故m＝±4或m＝±eq \r(34)，
所以“m＝4”是“椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1的焦距为6”的充分不必要条件．
4．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)eq \(DP,\s\up6(→)).当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是____________．
答案 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则点D的坐标为(x0，0)，
∵eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)eq \(DP,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0，,y＝\f(\r(3),2)y0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x，,y0＝\f(2,\r(3))y，))
∵点P在x2＋y2＝4上，
∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
∴x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(3))y))2＝4，
∴点M的轨迹方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
课时对点练
1．椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m等于( )
A．3 B．5 C．3或5 D．2
答案 C
解析 由题意得2c＝2，得c＝1，
当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，
因为a2＝b2＋c2，所以m＝4＋1＝5，
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
因为a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1，解得m＝3，
综上，m＝3或m＝5.
2．已知椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 B
解析 因为椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，
所以a＝5，b＝4，且焦点在x轴上，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．已知点F为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点，点P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，则|PF|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．2eq \r(5)
答案 A
解析 由题意，点F为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点，
则F(2,0)，左焦点为F1(－2,0)，
圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2,0)，半径为4，
可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，
又由P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，
根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF1|＝2a＝6，|PF1|＝4，
所以|PF|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.
4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案 B
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，
所以a＝6，c＝4.
所以b2＝36－16＝20，方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1.
因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，
所以x≠0，
故点A的轨迹方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
5．已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在椭圆上，若|PF|＝eq \f(\r(3),2)，则点P的横坐标为( )
A．－eq \r(2) B.eq \r(2) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
答案 D
解析 因为椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，
所以a2＝3，b2＝2，所以c2＝1，所以F(1,0)，
设P(x0，y0)，
则|PF|＝eq \r(x0－12＋y\\al(2,0))＝eq \f(\r(3),2)，
又eq \f(x\\al(2,0),3)＋eq \f(y\\al(2,0),2)＝1，解得x0＝eq \f(9,2)或x0＝eq \f(3,2)，
而－eq \r(3)≤x0≤eq \r(3)，所以x0＝eq \f(3,2).
6．(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1
答案 AD
解析 依题意，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3，
且△PF2F1为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16，
∴|F1F2|＝4，∴c＝2，
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，
∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
又椭圆的焦点位置不明确，
故所求的椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1.
7．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则椭圆C的方程为________________．
答案 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 由题意知4a＝4eq \r(3)，即a＝eq \r(3)，
又因为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以c＝1，
所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(2)，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
8．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
答案 4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝eq \f(1,2)|ME|＝4.
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝eq \r(15)，焦点在y轴上；
(2)a＝2eq \r(3)，经过点A(－3，－1)，焦点在x轴上；
(3)经过点(0,2)，且焦距为2.
解 (1)由a＝4，c＝eq \r(15)，得b2＝a2－c2＝1，
∵焦点在y轴上，
∴其标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
(2)根据条件设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,b2)＝1(0由A(－3，－1)在椭圆上，则eq \f(9,12)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝4，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1.
(3)由题意得c＝1，
若焦点在x轴上，则b＝2，∴a＝eq \r(5)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，
若焦点在y轴上，则a＝2，∴b＝eq \r(3)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程．
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,a＝4，))
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋2,2)，,y＝\f(y0,2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2，,y0＝2y，))
又P是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1上的动点，
∴eq \f(2x－22,16)＋eq \f(4y2,12)＝1，
即Q点的轨迹方程是eq \f(x－12,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
11.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,30)＋eq \f(y2,10)＝1
C.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 C
解析 由题意可得该椭圆的半焦距c＝2eq \r(5)，设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
取椭圆的右焦点F1(2eq \r(5)，0)，连接PF1，如图，
因为|OP|＝|OF|，
所以|OP|＝|OF1|，
所以PF⊥PF1，
又|PF|＝4，|FF1|＝4eq \r(5)，
所以|PF1|＝eq \r(|FF1|2－|PF|2)＝8，
所以2a＝|PF|＋|PF1|＝12，即a＝6，
所以b2＝a2－c2＝16，
所以椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1.
12．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2eq \r(2)，P是C上一点，若|PF1|－|PF2|＝a，且sin∠PF1F2＝eq \f(1,3)，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 因为|F1F2|＝2eq \r(2)，所以c＝eq \r(2) ，
P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|－|PF2|＝a，
所以|PF1|＝eq \f(3a,2)，|PF2|＝eq \f(a,2)，
又sin∠PF1F2＝eq \f(1,3)，则cs∠PF1F2＝eq \f(2\r(2),3)，
所以在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cs∠PF1F2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2＋8－2×eq \f(3a,2)×2eq \r(2)×eq \f(2\r(2),3)，
整理得a2－4a＋4＝0，
解得a＝2，则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
13．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，则点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
答案 A
解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，
可得(x，y)＝eq \f(3,5)(x0,0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))
因为|AB|＝5，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)y))2＝25，
即eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝eq \f(|BC|＋|BA|,2|AC|)＝eq \f(2a,4c)＝eq \f(5,6).
15．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝eq \f(3,2)|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________．
答案 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
由eq \(AF2,\s\up6(—→))＝eq \f(3,2)eq \(F2B,\s\up6(—→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，±\f(2,3)b))，
又点B在椭圆上，故eq \f(\f(25,9),a2)＋eq \f(\f(4,9)b2,b2)＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
16．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程．
解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)．|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．
一、椭圆的方程的设法
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2\r(5),5))).
(2)求过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程；
(3)已知椭圆的中心在原点，过点(eq \r(5)，－2)，和(0,2eq \r(2))，求椭圆的标准方程．
解 (1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>n>0)，焦距为2c0.
由题意有c0＝1，|PF1|＝eq \r(9＋\f(4,5))＝eq \f(7\r(5),5)，
|PF2|＝eq \r(1＋\f(4,5))＝eq \f(3\r(5),5)，
有m＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,2)＝eq \f(\f(7\r(5),5)＋\f(3\r(5),5),2)＝eq \r(5)，
n＝eq \r(5－1)＝2，
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k<9)，
将点(eq \r(3)，－eq \r(5))代入，可得eq \f(－\r(5)2,25－k)＋eq \f(\r(3)2,9－k)＝1，
解得k＝5(k＝21舍去)，
故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
(3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m，n>0)，
椭圆过点(eq \r(5)，－2)，和(0,2eq \r(2))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5m＋4n＝1，,8n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,10)，,n＝\f(1,8)，))
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,8)＝1.
反思感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点，且经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))；
(2)经过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，－\f(\r(3),2)))两点．
解 (1)椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点坐标为(±1,0)，
∵椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
∴2a＝eq \r(1＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＋eq \r(1－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝4，
∴a＝2，b＝eq \r(3)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
把Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，－\f(\r(3),2)))两点代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＋\f(1,2)n＝1，,2m＋\f(3,4)n＝1，))解得m＝eq \f(1,8)，n＝1，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋y2＝1.
二、椭圆定义的应用
例2 椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,100)＝1 B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,400)＋eq \f(y2,336)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,12)＝1
答案 B
解析 已知两个焦点的坐标分别是F1(－8,0)，F2(8,0)，
可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝8，
由椭圆的定义可得2a＝20，即a＝10，
由a，b，c的关系解得b＝eq \r(a2－c2)＝6，
∴椭圆方程是eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1.
延伸探究
1．若P是方程eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上的任意一点，F1(－8,0)，F2(8,0)，若|PF1|＝5，则|PF2|＝________.
答案 15
解析 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
故|PF2|＝15.
2．1中若|PF1|∶|PF2|＝3，求|PF1|，|PF2|的值．
解 由|PF1|＋|PF2|＝20和|PF1|＝3|PF2|，可知|PF1|＝15，|PF2|＝5.
3．1中△PF1F2的周长是多少？是否与P的位置有关？
解 周长l＝2a＋2c＝36，与P的位置无关．
反思感悟 如果平面内一点的轨迹满足椭圆的定义，首先要明确焦点的位置，然后利用定义解决问题，其好处是“设而不求”．
跟踪训练2 已知椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m等于( )
A．5 B．10 C．15 D．25
答案 D
解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
由椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,16)＝1可知，椭圆的焦点在x轴上，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25.
三、相关点代入法求点的轨迹方程
例3 点B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0＋2a,2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2a，,y0＝2y，))
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)．
又点B(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，
∴eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，从而有eq \f(2x－2a2,a2)＋eq \f(2y2,b2)＝1.
整理得动点M的轨迹方程为eq \f(4x－a2,a2)＋eq \f(4y2,b2)＝1.
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)．
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程．
(4)化简方程得所求方程．
跟踪训练3 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MQ,\s\up6(→))，则动点M的轨迹方程是( )
A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1
C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9
答案 B
解析 设动点M(x，y)，Q(m，n)，
∵eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MQ,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4＝\f(1,3)m－x，,y＋4＝\f(1,3)n－y，))化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4x＋3，,n＝4y＋3.))
又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，
故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，
即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.
1.知识清单：
(1)椭圆的方程的设法．
(2)椭圆的定义的应用．
(3)相关点代入法求轨迹方程．
2．方法归纳：定义法、待定系数法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在求动点轨迹方程时，易忽略是否有需要删除(或增加)的点．
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于( )
A．1 B．3 C．6 D．10
答案 C
解析 由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.
2．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－3))，则此椭圆的方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1
B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1
D．以上均不正确
答案 A
解析 设经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－3))的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得m＝1，n＝eq \f(1,25)，
∴所求椭圆方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
3．“m＝4”是“椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1的焦距为6”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由当m<5时，焦点在x轴上，
焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝a2－c2＝16，
则m＝±4，
当m>5时，焦点在y轴上，由焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝b2＋c2＝34，
则m＝±eq \r(34)，
故m＝±4或m＝±eq \r(34)，
所以“m＝4”是“椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1的焦距为6”的充分不必要条件．
4．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)eq \(DP,\s\up6(→)).当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是____________．
答案 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则点D的坐标为(x0，0)，
∵eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)eq \(DP,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0，,y＝\f(\r(3),2)y0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x，,y0＝\f(2,\r(3))y，))
∵点P在x2＋y2＝4上，
∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
∴x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(3))y))2＝4，
∴点M的轨迹方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
课时对点练
1．椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m等于( )
A．3 B．5 C．3或5 D．2
答案 C
解析 由题意得2c＝2，得c＝1，
当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，
因为a2＝b2＋c2，所以m＝4＋1＝5，
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
因为a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1，解得m＝3，
综上，m＝3或m＝5.
2．已知椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 B
解析 因为椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，
所以a＝5，b＝4，且焦点在x轴上，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．已知点F为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点，点P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，则|PF|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．2eq \r(5)
答案 A
解析 由题意，点F为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点，
则F(2,0)，左焦点为F1(－2,0)，
圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2,0)，半径为4，
可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，
又由P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，
根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF1|＝2a＝6，|PF1|＝4，
所以|PF|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.
4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案 B
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，
所以a＝6，c＝4.
所以b2＝36－16＝20，方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1.
因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，
所以x≠0，
故点A的轨迹方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
5．已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在椭圆上，若|PF|＝eq \f(\r(3),2)，则点P的横坐标为( )
A．－eq \r(2) B.eq \r(2) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
答案 D
解析 因为椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，
所以a2＝3，b2＝2，所以c2＝1，所以F(1,0)，
设P(x0，y0)，
则|PF|＝eq \r(x0－12＋y\\al(2,0))＝eq \f(\r(3),2)，
又eq \f(x\\al(2,0),3)＋eq \f(y\\al(2,0),2)＝1，解得x0＝eq \f(9,2)或x0＝eq \f(3,2)，
而－eq \r(3)≤x0≤eq \r(3)，所以x0＝eq \f(3,2).
6．(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1
答案 AD
解析 依题意，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3，
且△PF2F1为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16，
∴|F1F2|＝4，∴c＝2，
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，
∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
又椭圆的焦点位置不明确，
故所求的椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1.
7．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则椭圆C的方程为________________．
答案 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 由题意知4a＝4eq \r(3)，即a＝eq \r(3)，
又因为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以c＝1，
所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(2)，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
8．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
答案 4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝eq \f(1,2)|ME|＝4.
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝eq \r(15)，焦点在y轴上；
(2)a＝2eq \r(3)，经过点A(－3，－1)，焦点在x轴上；
(3)经过点(0,2)，且焦距为2.
解 (1)由a＝4，c＝eq \r(15)，得b2＝a2－c2＝1，
∵焦点在y轴上，
∴其标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
(2)根据条件设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,b2)＝1(0
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1.
(3)由题意得c＝1，
若焦点在x轴上，则b＝2，∴a＝eq \r(5)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，
若焦点在y轴上，则a＝2，∴b＝eq \r(3)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程．
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,a＝4，))
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋2,2)，,y＝\f(y0,2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2，,y0＝2y，))
又P是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1上的动点，
∴eq \f(2x－22,16)＋eq \f(4y2,12)＝1，
即Q点的轨迹方程是eq \f(x－12,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
11.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,30)＋eq \f(y2,10)＝1
C.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 C
解析 由题意可得该椭圆的半焦距c＝2eq \r(5)，设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
取椭圆的右焦点F1(2eq \r(5)，0)，连接PF1，如图，
因为|OP|＝|OF|，
所以|OP|＝|OF1|，
所以PF⊥PF1，
又|PF|＝4，|FF1|＝4eq \r(5)，
所以|PF1|＝eq \r(|FF1|2－|PF|2)＝8，
所以2a＝|PF|＋|PF1|＝12，即a＝6，
所以b2＝a2－c2＝16，
所以椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1.
12．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2eq \r(2)，P是C上一点，若|PF1|－|PF2|＝a，且sin∠PF1F2＝eq \f(1,3)，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 因为|F1F2|＝2eq \r(2)，所以c＝eq \r(2) ，
P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|－|PF2|＝a，
所以|PF1|＝eq \f(3a,2)，|PF2|＝eq \f(a,2)，
又sin∠PF1F2＝eq \f(1,3)，则cs∠PF1F2＝eq \f(2\r(2),3)，
所以在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cs∠PF1F2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2＋8－2×eq \f(3a,2)×2eq \r(2)×eq \f(2\r(2),3)，
整理得a2－4a＋4＝0，
解得a＝2，则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
13．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，则点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
答案 A
解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，
可得(x，y)＝eq \f(3,5)(x0,0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))
因为|AB|＝5，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)y))2＝25，
即eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝eq \f(|BC|＋|BA|,2|AC|)＝eq \f(2a,4c)＝eq \f(5,6).
15．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝eq \f(3,2)|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________．
答案 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
由eq \(AF2,\s\up6(—→))＝eq \f(3,2)eq \(F2B,\s\up6(—→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，±\f(2,3)b))，
又点B在椭圆上，故eq \f(\f(25,9),a2)＋eq \f(\f(4,9)b2,b2)＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
16．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程．
解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)．|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．
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