高中第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程导学案

这是一份高中第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程导学案，共14页。

2.5 椭圆及其方程
2.5.1　椭圆的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.掌握椭圆的定义和标准方程.3.能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题．
学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.要通过实际操作理解并熟练掌握椭圆的定义；2.利用图形的形象直观性，把握a，b，c的几何意义；3.要通过范例的学习与适度的练习，熟练掌握求椭圆标准方程的基本方法：待定系数法、定义法、直接法等．
教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导.




1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空.1997年2月至3月间许多人目睹了这一天文现象．你知道科学家是如何计算出彗星出现的准确时间吗？

知识点一　椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


焦距
|F1F2|＝2c
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

1．对椭圆定义的理解
设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a.
(1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆．
(2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
(3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在．
2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
(2)设方程：
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)；
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　　)
(2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　)
(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　　)
(4)设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是椭圆．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
(2)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝8，则|AB|＝________.
(3)若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________.
答案　(1)18　(2)4　(3)



题型一 椭圆的定义
例1　如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．

(1)求△AF1B的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解]　(1)如题图，由题意知，A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.
所以△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，与AB和x轴是否垂直无关．

1．椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
3．椭圆的标准方程中应注意的几个问题

(1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
(2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型．
(3)方程Ax2＋By2＝C表示椭圆的充要条件：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B.A>B时，焦点在y轴上；A
[跟踪训练1]　已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA|的最小值．
解　由椭圆的方程5x2＋9y2＝45可知a2＝9，b2＝5，c2＝4，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)，如图所示．P为椭圆上半部分上一点，由椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝6.

而|PF1|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋|PF2|－|PF2|＝6－(|PF2|－|PA|)．
在△PAF2中，因为||PF2|－|PA||<|AF2|，当且仅当P，A，F2三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝.所以当P，A，F2三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为6－.
题型二 椭圆的标准方程
例2　求经过P1，P2两点的椭圆的标准方程．
[解]　解法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意，知解得
∵a2＝<＝b2，∴焦点在x轴上的椭圆不存在．
②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意，得解得
∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，其标准方程为＋＝1.

1．椭圆标准方程的两种求法
(1)定义法：定义是研究椭圆问题的基础，先根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，再写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法
①先设出椭圆的标准方程＋＝1或＋＝1(a>b>0)，然后求出待定的系数代入方程即可．
②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
③与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)，与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)．
2．求椭圆标准方程的关注点
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面．
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为
原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．

[跟踪训练2]　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点；
(2)过点Q(2,1)，且与椭圆＋＝1有公共的焦点．
解　(1)易知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义，知2a＝＋
＝2，
所以a＝.
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由＋＝1，得c2＝5，则a2－b2＝5.①
又点Q(2,1)在所求椭圆上，所以＋＝1，②
由①②得a2＝＋5，b2＝，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 利用椭圆的定义求轨迹方程
例3　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于20，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.如图所示．

由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝12，
因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝12；但点A不在x轴上．由a＝6，c＝4，得b2＝a2－c2＝36－16＝20.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的特点，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是利用定义求椭圆标准方程的方法，但注意检验．

[跟踪训练3]　已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹曲线的形状及方程．
解　如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4,0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.

设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件可得|CC1|＝r1－r.①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件可得|CC2|＝r2＋r.②
由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．
由题意，得c＝4，a＝8，
所以b2＝a2－c2＝64－16＝48.
所以椭圆的方程为＋＝1，
所以动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为＋＝1.



1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.故选D.
2．“2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　由方程＋＝1表示的曲线是椭圆，可得解得2 3．(多选)与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　BCD
解析　与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆系方程为＋＝1(λ>－16)．对比各选项可知，当λ＝－2时，得＋＝1；当λ＝5时，得＋＝1；当λ＝－9时，得＋＝1.故选BCD.
4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.
答案　2　120°
解析　由椭圆＋＝1知a＝3，c＝＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝－.
又0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°.
5．如图，已知定点A(－2,0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．

解　连接PA，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2,0)，半径R＝8.
∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，
∴|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4.由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．
依题意，有2a＝8，c＝2，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
答案　C
解析　由题可知a＝，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2，∴(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4，即△ABC的周长为4.故选C.
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　由椭圆＋＝1的焦点在x轴上，可得解得所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D.
3．已知动点M(x，y)满足＋＝4，则动点M的轨迹曲线的形状为(　　)
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
答案　D
解析　设F1(－2,0)，F2(2,0)．由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.
4．已知椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．
答案　B
解析　设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，由N是MF1的中点，O是F1F2的中点可知|ON|＝|MF2|.又|MF2|＝2a－|MF1|＝10－2＝8，所以|ON|＝4.
5．(多选)椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标可以是(　　)
A．(0，－3) B．
C．(0,3) D．
答案　AC
解析　记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆与y轴的交点处，
∴P(0,3)或(0，－3)．
二、填空题
6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
答案　7
解析　由已知椭圆的方程得a＝2，b＝，c＝3，不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)．由于焦点F1和F2关于y轴对称，∴PF2必垂直于x轴．∴P或P，|PF2|＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝.∴|PF1|＝7|PF2|.
7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
答案　7
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
8．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的角平分线的垂线，垂足为N，若|ON|＝2(O为坐标原点)，则|MF2|－|MF1|＝________，|OM|＝________.
答案　4　2
解析　延长F2N，MF1并相交于Q点，由题知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以|MF2|＝|MQ|，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以ON綊F1Q，因为|ON|＝2，所以|F1Q|＝4，|MF2|－|MF1|＝4，因为|MF2|＋|MF1|＝8，所以|MF2|＝6，|MF1|＝2，所以|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2，所以MF1⊥OF1，所以|OM|＝＝2.
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解　(1)依题意，知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.
又|PF1|－|PF2|＝1，
所以|PF1|＝，|PF2|＝.
又|F1F2|＝2c＝2，
所以由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值为.
10．已知圆A：x2＋(y＋6)2＝400，圆A内一定点B(0,6)，圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程．
解　设动圆C的半径为r，则|CB|＝r.
∵圆C与圆A内切，∴|CA|＝20－r.
∴|CA|＋|CB|＝20.
又|AB|＝12，∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|.
∴点C的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
∵2a＝20,2c＝12，
∴a＝10，c＝6，b2＝64.
又A，B在y轴上，∴C点的轨迹方程为＋＝1.
B级：“四能”提升训练
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(3)焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴∴
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)解法一：∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，
∴可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得a2＝4，b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：由题意知椭圆的焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
又 ＋ ＝＋＝4，
∴2a＝4，即a＝2，∴b2＝a2－c2＝22－12＝3，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2．如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．

解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6，0)，C(－6，0)，CE，BD分别为AB，AC边上的中线，

则|BD|＋|CE|＝30.
由重心的性质可知，
|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆的两个焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
∴b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．
设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±30)，
即＋＝1(x≠±30)．