数学人教B版 (2019)椭圆的几何性质教案及反思

这是一份数学人教B版 (2019)椭圆的几何性质教案及反思，共6页。教案主要包含了情境引入，合作探究，例题讲解，总结提升，课后作业等内容，欢迎下载使用。
板书设计
教学研讨
本节课的学习重点是让学生掌握椭圆的几何性质，教学设计中另辟蹊径，用到了利用三角函数来得出椭圆的范围.但对离心率的处理较仓促，可以适当进行补充如何用a，b或b，c来表示离心率，并以此帮助学生学会灵活求离心率，提升学生逻辑推理与数学运算等数学学科核心素养.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境导
方程表示什么样的曲线,你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?
情形1：列表、描点、连线进行画图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.
情形2：求出曲线与坐标轴的四个交点，联想曲线的形状得到图形.
情形3：将方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子作图.
情形4：只画第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形……
辨析与研讨：投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现学生的思维差异，培养学生的思维习惯.
教师点评：
（1）能够抓住椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点画图；
（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；
（3）本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现从特殊到一般的思想方法.
课堂教学体现学生自主探究知识的过程，情境的设置体现了研究问题角度的转变—用方程研究曲线的几何性质，同时使学生意识到椭圆的几何特征范围、对称性、关键点等.
探究新知
思考:与直线的方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程）有什么特点?
（1）椭圆的标准方程是关于的二元二次方程;
（2）椭圆的标准方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;
（3）椭圆的标准方程中和的系数不相等.
自主探究1:结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的范围.
结论:
由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形内.
自主探究2:继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.
结论;
代换后方程不变,说明椭圆关于轴对称;
代换后方程不变,说明椭圆关于轴对称;
代换后方程不变,说明椭圆关于原点对称.
自主探究3:再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆与对称轴的交点坐标.
结论:
在椭圆的标准方程中,令,得,令,得.
顶点:椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点.
顶点坐标:,
.
相关概念:线段分别称为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和分别称为椭圆的半长轴长和半短轴长.
在椭圆的定义中,表示焦距,则表示半焦距,这样,椭圆的标准方程中的就有了明显的几何意义.
设置问题:
问题1:在椭圆标准方程的推导过程中,令能使方程简单整齐,其几何意义是什么?
问题2:用什么量可以刻画椭圆的圆扁程度?
一般地,椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率.
问题3:离心率的大小如何影响椭圆的圆扁程度?
因为,所以.
另外,注意到
.
这说明越趋近于1,则的值越小,因此椭圆越扁;反之,越趋近于0,则的值越大,这时椭圆就越接近于圆.
学生探究:
表示半焦距,表示半短轴长,因此,连接顶点和焦点以及原点,可以构造一个直角三角形,在直角三角形内,,内.
由可知长度分别为的三条线段构成一个直角三角形,且长度为的线段是斜边.这就说明,以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形,而且短轴端点与焦点的连线长为.
多媒体展示椭圆的特征三角形.
预设:.
预设评价:可以从椭圆的定义出发,发现画椭圆时的变化对椭圆形状的影响.
教师利用几何画板动态展示,并给出离心率的概念,引导学生求出椭圆离心率的范围.
师生活动:学生观察当保持不变时,随着的改变,椭圆圆扁程度的变化,发现椭圆随着的增大而变扁,随着的减小而变圆.
让学生用逼近的思想想象当时,椭圆接近于圆,当时,椭圆接近于一条线段.
例1、例2由学生独立完成,教师点评即可.
师:请学生先在草稿纸上画出例3草图,并直观判断,给出答案.
生:画图,得到直观结果,思考,进行理论证明.
师:数学是一门很严谨的学科,如何进行证明呢?
生:思考、讨论、交流.
师生共同得到思路:通过两点间的距离公式得出的表达式,结合椭圆上点的范围,利用二次函数知识得出结论:椭圆上的所有点中,到给定焦点距离最大和最小的点,分别是长轴的两个端点.
师:离心率的本质是什么?如何表示离心率?
生:离心率的本质是比值,可以用,三者中的任意两者来表示.
师:例4中的又分别是什么?生:结合定义用已知量来正确表示,得出答案.
师生共同探究教材第133页“探索与研究”栏目.
利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是的几何意义，多媒体课件的展示体现a，b，c的几何意义，从而得到的本质.
让学生从具体问题中抽象出离心率的定义，信息技术的引入不仅可以使学生体会到定义的科学性、严谨性，更有助于培养学生的数学抽象核心素养，不断积累数学活动的经验.
利用等价转化的思想刻画椭圆的圆扁程度，加深学生对椭圆的离心率的认识与理解.
通过例题分析，巩固椭圆的几何性质，例4旨在引导学生深刻理解椭圆离心率的几何意义，实现认识上的又一次飞跃通过“探索与研究”栏目，提升学生的数学运算与直观想象核心素养.
归纳总结
1.反思知识的形成过程,掌握研究问题的方法.
2.研究的范围、对称性、顶点.
3.课后延伸:同学们再来观察椭圆方程的结构特征“方程中和的系数不相等”,因此当和的系数发生变化时,椭圆的形状是如何随之变化的?
学生相互交流收获与体会，谈感想.
回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
布置作业
教材第134~135页练习A，练习B
学生独立完成，教师批阅.
固化知识，提升能力.
2.5.2椭圆的几何性质
一、情境引入
二、合作探究
椭圆的几何性质:
（1）范围:且
（2）对称性:关于轴、轴、坐标原点都对称
（3）顶点:,b)
（4）离心率:
三、例题讲解
例1
例2
例3
例4
四、总结提升
五、课后作业