第二章 直线和圆的方程（复习提升）-2023-2024学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

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第二章 直线和圆的方程复习提升知识归纳


（一）直线
1、 直线的斜率与倾斜角
(1)斜率：两点的斜率公式：，则
(2)直线的倾斜角范围：
（3）斜率与倾斜角的关系：
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；
（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。
2、直线方程
(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线
（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线
注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零
（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线
（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线
（5）一般式：（不同时为）
（6）特殊直线方程
①斜率不存在的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：
②斜率为的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：
③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）
在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
3、平面上两直线的位置关系及判断方法
（1）
①平行：且（注意验证）
②重合：且
③相交： 特别地，垂直：
（2）
①平行：且（验证）
②重合：且
③相交： 特别地，垂直：
（3）与直线平行的直线可设为：
与直线垂直的直线可设为：
4、其他公式
（1）平面上两点间的距离公式：，则
（2）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为
（3）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：
（4）点到直线的距离公式：
（5）两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）
（6）点关于点的对称点的求法：点为中点
（7）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。
（二）、圆
1、圆的方程
（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径
（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)
注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。
2、直线与圆的位置关系
(1)直线，圆，记圆心到直线的距离
①直线与圆相交,则或方程组的
②直线与圆相切，则或方程组的
③直线与圆相离，则或方程组的
（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：
（3）直线与圆相切时，
①切线的求法：
（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；
（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；
（Ⅲ）已知过圆外的点求圆的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为，验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点向圆引切线，记两点的距离为，则切线长
（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为，则圆上点到直线的最近距离为，最远距离为
3、两圆的位置关系
圆，圆，两圆圆心距离
(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则
注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：
（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则
特别地，当时，两圆为同心圆
题型讲解

题型1：直线的倾斜角与斜率
例1.（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【方法技巧】
1. 直接由斜率的定义判断即可.
2. 学会对语言的分析
3. 学会处理实际问题的能力。
【针对训练】
1．（2021·广东揭阳·模拟预测）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________
3．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
题型2：直线的方程
例2：1．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（       ）

A． B．
C． D．
2．（2022·江苏·模考）过两点和的直线在y轴上的截距为（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
把握好求直线方程的各种方法，技巧。
(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线
（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线
注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零
（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线
（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线
（5）一般式：（不同时为）
【针对训练】
1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
2．已知直线过点，，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
3．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
题型3：直线的交点坐标与距离公式
例3：1．两条平行直线与之间的距离是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设三直线；；交于一点，则k的值为______．

【方法技巧】
1.应用平行线距离公式求两线的距离即可.
2.交点的求法
【针对训练】
1．已知直线l的方程是．对于任意，直线l均经过定点，则此定点的坐标为___________.
2．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.
3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2.
(1)求直线l的方程；
(2)求点到直线l的距离.

题型4：直线综合
例4．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【方法技巧】
设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可.

【针对训练】

1．已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
2．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．
题型5：直线坐标系中的基本公式
例5．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为________，直线MN的截距式方程为________.
【方法技巧】
根据坐标之间的关系，求出所需要的坐标。
【针对训练】
1．已知点，则线段AB的中点坐标为________.
2．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
题型6：圆的方程
例6．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

【方法技巧】
（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径
（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)
注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

【针对训练】
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（      ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
题型7：直线与圆的位置关系
例7：1．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
2．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
3．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则       
A． B． C． D．
【方法技巧】
(1)直线，圆，记圆心到直线的距离
①直线与圆相交,则或方程组的
②直线与圆相切，则或方程组的
③直线与圆相离，则或方程组的
（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：
（3）直线与圆相切时，
【针对训练】
1．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（       ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
3．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
题型8：圆与圆之间的位置关系
例8．如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则
注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：
（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则
特别地，当时，两圆为同心圆

【针对训练】
1．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（       ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
3．若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
题型9：圆的公共弦
例9．已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.
【方法技巧】
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.
【针对训练】
1．圆与圆的公共弦长为______．
2．若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线恒过定点M的坐标为__________．
3．若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.
题型10：圆的公切线
例10．圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可.
【针对训练】
1．已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（       ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
3.（多选）．点P在圆上，点Q在圆上，则（       ）
A．两个圆心所在的直线斜率为B．两个圆相交弦所在直线的方程为
C．两圆公切线有两条 D．|PQ|的最小值为0