人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精品同步测试题

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3.1.2 椭圆的简单几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中x,y的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用

3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳

椭圆的简单几何性质
椭圆：的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；
　　（2）；；；
　　（3）；；；
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长    长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径
过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a

考点讲解



考点1：求椭圆焦点,焦距
例1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
【答案】[3，5]
【详解】椭圆方程
椭圆的焦点
由在圆上，设，
•
的取值范围[3，5].
故答案为：[3,5].
【方法技巧】
求出椭圆焦点坐标，用三角换元法表示点坐标，计算距离的积，利用三角函数性质得取值范围．
【变式训练】
【变式1】．椭圆的焦点坐标是______．
【答案】，
【分析】分与两种情况进行求解.
【详解】当时，焦点坐标在轴上，则，
所以，故焦点坐标为；
当时，焦点坐标在轴上，则，
所以，故焦点坐标为
故答案为：，
【变式2】．椭圆的焦点为､，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则是的___________倍.
【答案】
【详解】解：由椭圆，得，
因为线段的中点在y轴上，
则可设，
代入椭圆方程得，解得，
则，
所以，
即是的倍.
故答案为：.
【变式3】．已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点在椭圆C的第一象限上，交于点E，直线交轴于点，且，则______．
【答案】
解；方法二用椭圆第二定义进行求解.
【详解】由题意可知：，的方程为，设直线与轴交点为，，
因为，，
所以与相似，，，
所以，即，
即，代入椭圆的方程可得，
因为点在椭圆的第一象限上，点的坐标为．
方法一：．
方法二：，由椭圆的第二定义可知，，
所以．
故答案为：

考点2：求共焦点的椭圆方程
例2．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确.
故选：C
【方法技巧】
根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出.
【变式训练】

【变式1】．若椭圆与椭圆焦点相同，则实数___________.
【答案】
【分析】由椭圆方程可得，由此可构造方程求得.
【详解】由得：，则且焦点在轴上
由得：，
与共焦点，；
，解得：.
故答案为：.
【变式2】．求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.
【答案】.
【分析】由题设可得且焦点为，设椭圆为且，根据点在椭圆上求参数，即可得椭圆标准方程.
【详解】由题设，椭圆焦点为则，令椭圆的标准方程为且，
又在椭圆上，则，整理得，解得或(舍).
所以椭圆的标准方程为.

考点3：椭圆中x,y的取值范围
例3．已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围．
【详解】由题可设，且，
由，可得，
∴又，
∴，
∴，
由，可得，即，
∴实数m的取值范围为.

【方法技巧】
利用两点间距离公式及椭圆方程可得，再利用椭圆的有界性即求.
【变式训练】
【变式1】．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（       ）
A． B．ab C．ac D．bc
【答案】D
【分析】利用椭圆的对称性及范围即得.
【详解】由椭圆的对称性可知P、Q关于原点对称，
所以，
故当时，△PQF的面积最大，最大值为.
故选：D.
【变式2】．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】##
【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.
【详解】不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
【变式3】．已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．
【答案】详见解析.
【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证.
【详解】由，可得，
又，
∴，
即.
考点4：椭圆的对称性
例4．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（     ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，
因此，而椭圆：的长半轴长，
所以.
故选：D
【方法技巧】
令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.
【变式训练】
【变式1】．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.
【详解】由椭圆的对称性可知，,
所以，
又椭圆方程为，所以，解得，
所以，
故选：A
【变式2】．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（       ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】根据椭圆的对称性及的值，分类讨论，即可求解.
【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
设椭圆的上顶点为，
由椭圆，可得，可得，
则，，
所以，故，
所以不存在以为直角顶点的，
故满足本题条件的点共有4个.
故选：B.

考点5：求椭圆的短轴，长袖
例5．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为椭圆的方程为，
所以，，，
又椭圆的离心率为
所以，解得，
所以,
所以椭圆E的长轴长为．
故选：C.
【方法技巧】
根据离心率的定义列方程求，根据长轴长的定义求椭圆E的长轴长.
【变式训练】
【变式1】．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知矩形ABCD是椭圆的外切矩形，故可得，结合选项即可求解.
【详解】矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，则.
对于A:，不符合，
对于B:，不符合，
对于C:，符合，
对于D:，不符合，
故选：C.
【变式2】．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.
【详解】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，
故选：D

考点6：求椭圆的离心率
例6．1.如果椭圆的离心率为，则（       ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故选：B．
2．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，
则．
由点P在第一象限，知，
即，即，
即．
故选：B
3．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出
【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，

，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C

【方法技巧】
1.分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
2.设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.
【变式训练】
【变式1】．已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项
【详解】解：由已知得，，设，
则，，
因为，所以，即，即，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为，所以，所以，即，
所以，
故选：B．
【变式2】．（多选）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】假设椭圆的焦点在轴上，且点为椭圆的右焦点，分情况讨论与的位置，可得离心率.
【详解】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，
分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；
②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；
③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；
④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，
故选：AB.
【变式3】．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．
【答案】##
【分析】利用已知条件推出，然后求解椭圆的离心率即可．
【详解】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，
可得，所以，即，所以，解得，
所以．
故答案为：．

考点7：点与椭圆的位置关系
例7．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以,解得,
故选：B.
【方法技巧】
根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.
【变式训练】
【变式1】．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.
【详解】∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
【变式2】．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.
【答案】点在椭圆外
【分析】由已知得=1，继而有，由此可得答案.
【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.
故答案为：点在椭圆外.

考点8：椭圆的实际应用
例8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为___________.
【答案】
【详解】如图所示，可得，即，
又由，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.

【方法技巧】
根据题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而确定椭圆的离心率，得到答案.
【变式训练】
【变式1】．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.
【详解】，，即，因为，所以，即，故A错误；
∵，∴，，
，，∴，故B错误；
由B可知，，，则，故C错误；
由B可知，，则，故D正确；
故选：D
【变式2】．年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题干中的等式结合可求得、、，可得出合适的选项.
【详解】对于AB选项，，由可得，，
所以，，所以，，A错B对；
对于C选项，由可得，C错；
对于D选项，由，可得，
所以，得，D错.
故选：B.
知识小结

焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长    长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径
过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a

巩固提升

一、单选题
1．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得与的值，进而得的值，然后得标准方程.
【详解】由于2c=2,所以c=1,
又因为，故，
，所以椭圆的标准方程为：.
故选：C
2．椭圆的焦点坐标是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出椭圆的c，再写出椭圆的焦点坐标得解.
【详解】由题得，
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的焦点坐标为.
故选：C.
3．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3988公里；③两焦点坐标约为；④离心率约为．则上述结论正确的是（       ）

A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据已知条件求得椭圆对应的，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
，①正确；，②错误；
焦点坐标为，③正确；
离心率，④正确.
所以正确的为①③④.
故选：C

5．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易知当点为椭圆与轴的交点时取最大值，再根据椭圆方程求出、，最后根据勾股定理逆定理计算可得.
【详解】解：易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，所以、，
此时，，
所以，
所以为等腰直角三角形，所以．
故选：D
6．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可
【详解】
由已知得：，，
所以，
由得：
所以
所以
由得：
所以     
故选：C
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弦长公式求解即可.
【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
8．已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】不妨假设，，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案
【详解】解：设，，则．
∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．
∴，即．
∴．当且仅当时取“=”．
故选：B．
二、多选题
9．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（       ）
A．离心率
B．△面积的最大值为1
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．为定值
【答案】BD
【分析】由，直接求椭圆离心率即可，将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值，写出以线段为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，直接用斜率公式求解即可.
【详解】对于选项,由已知得，，则，即，故错；
对于选项,由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为，则△的面积最大值为，故正确；
对于选项,以线段为直径的圆的方程为，则该圆的圆心到直线的距离为,即以线段为直径的圆与直线相交，故不正确；
对于选项,设点，则,
故正确.
故选：BD.
10．设P是椭圆上的动点，则（       ）
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C．点P到左焦点距离的最大值为
D．点P到左焦点距离的最大值为
【答案】AC
【分析】利用椭圆的定义可判断A，B选项，离左焦点距离最远的点为右顶点，可判断C,D选项
【详解】由题意得，，由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；
又，所以，即，到左焦点距离的最大值为，
故选：AC
三、填空题
11．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】由离心率及a、b、c之间的关系，给a取一个值求出b即可.
【详解】解析设椭圆的标准方程为，则，
所以，令，则，
所以满足题意的一个椭圆的标准方程为
故答案为：
12．已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】设，由可求得的范围，在其中任取一数即可．
【详解】设，由题意可知，
即．
因为点P在椭圆上，所以，
所以，
解得，可以取1（只要在内即可）．
故答案为：1（答案不唯一）．
13．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程为_____．
【答案】
【分析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，可知，再由，即可得出，取即可.
【详解】设点P到椭圆两个焦点的距离（椭圆上的点到焦点的距离即焦半径）分别为m和2m，则2m+m＝2a，即，
因为（焦半径的取值范国为）.
所以．
取a＝3，所以，，
故所求椭圆的标准方程可为．（答案不唯一）
故答案为：．（答案不唯一）
14．已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】设，可得，根据可求出.
【详解】由椭圆方程可得，则，如图，

设锐角，在中，，
因为，即，故，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点和.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.
(1)
由已知,，，得：，，从而.
所以椭圆的标准方程为.
(2)
由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，.
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为.
16．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点，及，列方程解出即可得椭圆方程；
（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.
(1)
解：由题意得，解得，
又因为点在椭圆C上，
带入得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
解：易得直线l的解析式为，
设，联立椭圆的方程
得
，

所以．