三角形的证明 单元复习

一、选择题

1．在△ABC中，AB＝AC，∠A－∠B＝15°，则∠C的度数为(B)

A．50°    B．55°    C．60°    D．70°

2．(新疆吐鲁番质检)如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是(B)

A．AD＝AE    B．BE＝CD    C．∠ADC＝∠AEB    D．∠DCB＝∠EBC

3．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为(C)

A．8或10　    B．8　    C．10　    D．6或12

4．(甘肃天水质检)如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在(A)

A．AC的垂直平分线上    B．∠BAC的平分线上

C．BC的中点　　　　　　    D．AB的垂直平分线上

5．(宁夏中卫质检)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE.则∠CDE＝(B)

A．10°    B．20°    C．30°    D．40°

6．(新疆克拉玛依质检)如图，一棵高5米的树AB与地面BC形成60°夹角，之后在点D处折断，点A恰好落在BC边上的点E处，若BE＝2米，则BD的长是________米(C)

A．2    B．3    C．    D．

7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为(C)

A．无法确定    B．    C．1    D．2

8.(银川质检)点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P在△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为(D)

A．1    B．4    C．7    D．10

9．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E，F，G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝(D)

A．60°　    B．70°　    C．80°　    D．90°

10．(内蒙古通辽质检)如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4，则BE的长为(C)

A．12    B．10    C．8    D．6

二、填空题

11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是__18__cm.

12．(甘肃金昌质检)在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是__15__°.

13．如图，∠A ＝∠D, OA＝OD, ∠DOC＝50°，则∠DBC＝__25__度．

14．(兰州质检)如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为__13__.

15．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__40°__．

16．(新疆博尔塔拉质检)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是它的角平分线，若AB∶AC＝3∶2，且BD＝2，则点D到直线AB的距离为____．

17．(内蒙古通辽质检)如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为__4.5__．

18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__PB2＋AP2＝2CP2__．

三、解答题

19.(甘肃临夏质检)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD.

求证：BD⊥BC.

【证明】∵AB＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝(180°－∠ABC)＝30°，

∵AB的垂直平分线是DE，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝30°，

∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝120°－30°＝90°，∴BD⊥BC.

20.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，

点F在AB的延长线上，且AE＝CF.

(1)求证：△ABE≌△CBF；

(2)若∠ACF＝75°，求∠EAC的度数．

【解析】(1)∵∠ABC＝90°，∴△ABE与△CBF为直角三角形．

∵在Rt△ABE与Rt△BCF中，，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)；

(2)∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∵∠ACF＝75°，

∴∠BCF＝30°，

由Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠EAB＝∠FCB＝30°，

∴∠EAC＝15°.

21.(新疆塔城期中)如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.

(1)求证：AD垂直平分EF.

(2)若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

【解析】(1)∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC,

∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，

∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.

∴点A，D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.

(2)AG＝3DG.∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝30°，∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，

∵AD⊥EF，∴∠EGD＝90°，∴∠DEG＝30°，∴DE＝2DG，∴AD＝4DG，∴AG＝3DG.

22.(内蒙古呼伦贝尔质检)如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：CF＝AD.

(2)若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？

【解析】(1)∵AD∥BC，∴∠F＝∠DAE.∵E为CD中点，∴CE＝DE，在△FEC与△AED中，

∵∠FEC＝∠AED，CE＝DE，∠F＝∠DAE，∴△FEC≌△AED，∴CF＝AD.

(2)当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上．其理由是：

∵BC＝6，AD＝2，AB＝8，∴AB＝BC＋AD，又∵CF＝AD，BC＋CF＝BF，∴AB＝BF，

∴△ABF是等腰三角形，∴点B在AF的垂直平分线上．

23.(乌鲁木齐质检)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．

答案：∠DAC＝45°.

思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；

(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

【解析】(1)∠DAC的度数不会改变．

∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，①

∵∠BAE＝90°，BA＝BD，∴∠BAD＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C，

∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C，②

由①，②得，∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°.

(2)设∠ABC＝m°，

则∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°，∠AEB＝180°－n°－m°，

∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋m°，

∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°，

∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°.