数学第一章 三角形的证明综合与测试学案

一、主要知识点

1、   证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、   等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

3、   等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

      三条边都相等的三角形是等边三角形；

      三个角都是60°的三角形是等边三角形；

      有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

    4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1: 如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=M A.              

例2   如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.

例3： 如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,

求证: ① AC＝AD； ②CF＝DF。

例4  如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，

（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（4分）

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？

例5  如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。

例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2．直角三角形

一、主要知识点

 1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理

   在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

   如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

二、典型例题分析

  例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

      （1）四边形是多边形；

      （2）两直线平行，同旁内角互补；

      （3）如果ab=0,那么a=0,b=0；

      （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

例2：如图，中，，求的长。

例3 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．

              3.线段的垂直平分线  4.角平分线

一、主要知识点

1、  线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、   角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、   逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小

（2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小　

（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.

（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。

例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。

 例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。

例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。

例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与

∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF

例7、如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：BE=CF。

相应练习

1、   如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ

2、   如图，△ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。

求证：点Q在PR的垂直平分线上。

3、   如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。

求证：∠B=∠CAF

4、   已知：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E

求证：点M为EF的中点

1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高，

. 求证：AB= 4BD.

2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分

交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出的

周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，

BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：

命题的条件是      和      ，命题的结论是      和      (均填序号).

(2)证明你写出的命题.

已知：

求证：

证明：

4．（8分）如图21，在中，，AB=AC，的

平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.

求证：.

5．（8分）如图22，在中，.

（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.

（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.

6．（8分）如图23，，OM平分，将直角三角板的顶

点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问

PC与PD相等吗？试说明理由.