北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷（含答案解析）

北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷（含答案解析）

考试范围：第一单元  考试时间：120分钟  总分：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的三边长，，满足，则为．(    )

A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

2.  下列命题的逆命题不正确的是 (    )

A. 若，则 B. 两直线平行，内错角相等
C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等

3.  如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是(    )

A. ，
B.
C.
D.

4.  如图，中，，，的平分线交于点，平分给出下列结论：； ； ；正确结论有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、则下列结论：；；；，其中正确的有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.  下列说法中，正确的有(    )
都含有的两个直角三角形一定全等；
都含有的两个等腰三角形一定全等；
底边相等的两个等腰三角形一定全等；
边长都为的两个等边三角形一定全等；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，点是边，垂直平分线的交点，点是，平分线的交点设，，则与的数量关系式是．(    )
 

A.  B.  C.  D. 无法确定

8.  如图，在中，，，垂直平分，垂足为点，交于点，垂直平分，垂足为点，交于点，则五边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，以为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，与交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，点为的三条角平分线的交点，，，，点，，是垂足，且，，则点到三边，和的距离分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

11.  如图，已知，点是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则等于．(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，点是平分线上一点，，垂足为点若，则点到边的距离为．(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，已知，点在边上，点，在边上，且，，则等于          ．

14.  如图，已知，，垂足分别为点，，给出下列条件：，，，，从中选择一组，可以判定的是            填序号

15.  如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，则          ．
 

16.  如图，在中，，的平分线交于点，已知，，则点到边的距离为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
                                                         

城是否受到这次台风的影响？为什么？                                                                   

若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？                                                                         

18.  本小题分
如图，在中，，是的平分线，，交于点．
求证：．
若，求的度数．

19.  本小题分

如图，在等腰直角三角形中，，．

操作：如图，过点任作一条直线不经过点和点交所在的直线于点，过点作交于点，交所在的直线于点，连接．
 

猜想的形状．

请利用图，图作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作，画出相应的图形．

在经历之后，若你认为中的结论是成立的，请利用图说明理由若你认为不成立，请利用其中一图说明理由．

20.  本小题分

如图，，是上的一点，且，．

求证：≌．

21.  本小题分
如图，在中，直线是边的垂直平分线，分别交、于点、其中，图：，图：小于
要求：
用尺规分别在直线上找一点，使得．
保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
 

22.  本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点．
求的度数；
若，试求的长度．
 

23.  本小题分
如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
求证：；
如果，求的度数．

24.  本小题分
已知：如图，在中，，是的角平分线，，，求的长．

25.  本小题分

感知：如图，平分，，，易知：．

探究：如图，平分，，，求证：；

如图，平分，，，求证：．

【变式】如图，，点为的平分线与线段的垂直平分线的交点，连接，试求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】略
 

2.【答案】 

【解析】略
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于．
 

由题意得：，，

，

，，

，

，

故选A．

如图，过点作轴于，利用含角的直角三角形求出，即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，含角的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等和对顶角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．正确．证明即可．
错误．如果，则结论成立，无法判断，故错误．
正确．利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题．
正确．说明即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，故正确，
，，，
，故正确，
，
，
，
，
，，
，故正确，
无法判定，故错误．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：都含有的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
都含有的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以错误；
边长都为的两个等边三角形一定全等，因为根据或或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
所以正确的有这个．
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】略
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，，
垂直平分，垂直平分，
，，，
，，，，
在中，，
，，
，
，
五边形的周长

，
故选：．
过点作，垂足为，先利用等腰三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线的性质可得，，，从而利用含度角的直角三角形的性质可得，，，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用五边形的周长公式进行计算即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
连接，由作图知，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，，连接，由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】略
 

12.【答案】 

【解析】略
 

13.【答案】略 

【解析】略
 

14.【答案】略 

【解析】略
 

15.【答案】略 

【解析】略
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
过作于点，由角平分线的性质可得，由条件可求得的长，则可求得答案．
【解答】
解：
如图，过作于点，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；

在上取点，千米，则还有一点，有千米．
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以是的垂直平分线，，
在中，千米，千米，
由勾股定理得，千米，
则千米，
遭受台风影响的时间是：小时． 

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形，正确运用勾股定理是解题关键．
根据垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若，则城不受影响，否则受影响；
点到直线的长为千米的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
 

18.【答案】证明：是的平分线，
．
，
，
，
．
解：，
．
，
，
． 

【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：根据平行线的性质结合角平分线的定义找出；利用角平分线的定义结合等腰三角形的性质求出．
根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出；
由可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数．
 

19.【答案】略 

【解析】略
 

20.【答案】证明：，
．
，，
．
和是直角三角形，而．
≌ 

【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
 

21.【答案】解：如下图：点即为所求；

图中：以为圆心，长为半径作弧，与的交点即为所求；
图中：以为圆心，为半径作圆，再过作圆的切线，与的交点即为点． 

【解析】图根据线段的垂直平分线的性质和等边对等角作图；
图根据线段的垂直平分线的性质和圆的切线长定理作图；
根据中的作法进行说明．
本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质和切线长定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
是的垂直平分线，
；
，，，
，又，
． 

【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，根据垂直平分线的性质解答即可；
根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
和均是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先由判定≌，得到，然后由对顶角相等可得：，进而可得，然后由等角对等边，可得；
由，可得，然后由三角形的外角的性质可得：，由，进而可得：，然后由，进而可求的度数及的度数，然后由三角形的内角和定理即可求的度数．
此题考查了直角三角形全等的判定与性质，及等腰三角形判定与性质，解题的关键是：熟记三角形全等的判定与性质．
 

24.【答案】解：作于，如图所示：

是的平分线，，，
，
，，
≌，
，
在中根据勾股定理得：
，
设，则，
，，
，
，
，
解得，
答：的长为． 

【解析】作于，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

25.【答案】解：如图，于，于，

平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
如图：作于，于，

平分，，，
，
在和中，
，
，
，
【变式】
如图：连接，作于，于，

平分，，，
，
在线段的垂直平分线上
在和中，
，
，
，
 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
于，于，欲证明，只要证明≌即可．
作于，于，由角平分线的性质得出，，证，得出，即可解答
连接，作于，于，由线段垂直平分线的性质得出，证，求出，即可解答．